Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
Если Хъ Хп — независимые, одинаково распределенные случайные величины со средним и. и конечной дисперсией о2, то при п оо распределение случайной величины
_ п '
Уп(^^) есть N(0, 1), где Х--,
Вот одно из важных применений этой теоремы: если мы получаем случайную выборку объема п из генеральной совокупности с конечной дисперсией, то независимо от распределения нашей случайной величины X, распределение выборочного среднего X при больших п будет приблизительно N ([д., ог1п). Другие теоретические следствия из этой теоремы приведены в гл. 2.
4. Если случайная величина X распределена по биномиальному закону с параметрами п и р, то МП-оценкой параметра р .будет
п
(=1
Это — несмещенная оценка. Из центральной предельной теоремы следует, что при больших п выборочное распределение р является приблизительно нормальным со средним р и дисперсией р (1— р)/п, т. е. р имеет приблизительно распределение N (р, р (1 — р)/п) для больших п.
1.4. Оценка параметров генеральной совокупности
433
5. 100 (1' — а) %-ным доверительным интервалом для среднего х нормального распределения с известным о будет
~Zi-(a/2)y=, X + Zl-.(a/2) у- , ГДе Zi_(a/2) вСТЬ 100(1 —
(a/2))-я процентиль распределения N (0, 1).
6. Существуют численные методы получения оценок максимального правдоподобия. Приложение таких методов к одной из задач клинической биохимии можно найти в работе Azen, Reed (1973).
Пример 1.1.1 (продолжение). Врач зарегистрировал 9 выборочных реализаций (в мм рт. ст.): —10, —5, 0, 25, 30, 35, 45, 50 и 55. Оценка х максимального правдоподобия для среднего р. равна
(1/9) (—10 — 5 Н-----Н 55) = 25, а для дисперсии о2 имеем о2 =
= (1/9) ((—10 — 25)2 Н-----h (55 — 25)2) = 4800/9 = 533.3. Несмещенная оценка s2 дисперсии о2 равна 4800/8 = 600, а обычная оценка s для среднеквадратичного отклонения равна (/600 = 24.5. Наконец, оценка для стандартной ошибки среднего х ecrbs/j/n = = 24.5/3 = 8.17.
Предполагая, что дисперсия о известна"'и равна о = 20 мм рт. ст. (см. пример после разд. 1.2.5), получим 95 %-ный доверительный интервал для р: 25 — 1.96 (y=j> 25 + 1,96 =
= (11.9, 38.1). Следовательно, истинное значение р попадает в этот интервал с вероятностью 0.95.
1.5. Проверка гипотез
Во многих научных исследованиях задачу можно сформулировать в виде гипотезы, которую предстоит подтвердить или отвергнуть. Таким образом, исследуемая теория оказывается основой для статистической гипотезы. Статистическая гипотеза — это утверждение относительно значений одного или более параметров данного распределения или о самой форме распределения. Следовательно, статистическая гипотеза является утверждением относительно генеральной совокупности, описываемой этим распределением.
В примере 1.1.1 врач желает определить, уменьшает ли предлагаемое лекарство артериальное давление у пациентов с гипертонией. Тогда он формулирует гипотезу «среднее снижение давления крови больше нуля», т. е. лекарство оказывает положительное воздействие на снижение давления. Он узнает из статистической
434
Приложение I. Обзор основных понятий
теории, что для проверки этой гипотезы надо сначала сформулировать другую гипотезу: «вследствие приема лекарства никакого изменения давления в среднем не происходит». Если ои положит р. равным среднему распределения двухнедельного снижения диа-столического давления по генеральной совокупности, то сможет записать последнюю гипотезу в виде Я0: ц = 0. Однако врача интересует гипотеза Ну', р > 0. Тогда его задача — получить решение, основанное на некоторой выборке пациентов и подтверждающее либо #0, либо Ях. Гипотеза Я0 называется нулевой гипотезой; это «гипотеза отсутствия изменений». Интересующая врача гипотеза #1 называется альтернативной гипотезой. Большинство задач проверки статистических гипотез можно сформулировать так, чтобы нулевая и альтернативная гипотезы были определены аналогично.
Статистическая проверка гипотезы — это процедура выяснения, следует ли принять нулевую гипотезу или отвергнуть ее. Причина выделения нулевой гипотезы состоит в том, что #0 обычно рассматривается как утверждение, которое более важно, если оно отвергнуто. Это основано на общем принципе, гласящем, что тео-/ рия должна быть отвергнута, если есть противоречащий пример, но не обязательно должна быть принята, если такого примера *• найти нельзя.
Без какого-либо теоретического обоснования в пользу той или иной гипотезы врач рассматривает выборочное среднее изменения систолического давления. Он решает, что если х превосходит определенное значение, называемое критическим, то отвергнет Я0 и примет Ях; если же х не превосходит критического значения, то он не может отвергнуть Я0. (Позже будет показано, что эта процедура теоретически обоснована.) Ради простоты записибудем употреблять вместо «не отвергая Я0» более простое «принимая Я0». Следует иметь в виду, что его решение, т. е. отклонение или принятие Я0, основано на его выборочных наблюдениях и поэтому может оказаться ошибочным.
В общем случае существуют два типа ошибок, связанных с решением. Если в действительности гипотеза Я0 верна, а принято решение отвергнуть Яр, то допущена ошибка, ТШШаёмая ошибкой первого рода. С другой стороны, если в действительности верна гипотеза Яд, а принято решение принять Я0, то допущена ошибка второго рода. Эти ошибки описаны в табл. 175,1 вместе с вероятностями принятия каждого из решений при заданной истинной ситуации. Вероятность ошибки первого рода обозначена через а, а вероятность ошибки второго рода обозначена через р. Эти вероятности можно представить в виде
