Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 1.1.1 (продолжение). Чтобы сформулировать вероятностные утверждения относительно величины X, равной изменению диастолического давления вследствие. приема - лекарства, врач предполагает, что X распределена нормально со средним [I = 30 мм рт. ст. и стандартным отклонением а = 20 мм рт. ст. Воспользовавшись замечанием 1.2.2.3, он может вычислить интересующие его вероятности. Поскольку значения ц и а совпадают с использованными в этом замечании, он может сделать выводы, что (в предположении нормальности):
a) 40.13 % его пациентов, принимающих это лекарство, покажут снижение систолического кровяного давления не более 25 мм рт. ст.;
b) 14.69 % его пациентов покажут снижение большее или равное 51 мм рт. ст.;
c) 45.18 % его пациентов покажут снижение в диапазоне от 25 до 51 мм рт. ст.
Заметим, что, поскольку эти три возможности исчерпывают все выборочное пространство, суммарный процент равен 100 %.
1.2. Наиболее употребительные одномерные распределения
421
1.2.6. Распределение хи-квадрат (%2)
Если 1Ъ 1%, Ъу —^взаимно независимые случайные величины с распределениями Л" (0, 1), где V — положительное целое число, то переменная и, определяемая равенством
(7= 2 2?. (1.2.13)
1=1
0.5 -
Рис. 1.2.2. Плотность распределения хи-квадрат с тремя вариантами значений числа степеней свободы V.
обладает распределением хи-квадрат (%2) с параметром V. Этот параметр называется числом степеней свободы. Плотность распределения и имеет вид
ММ2) - 1.-И/2
/(М) = Л_—«>0, у=1, 2, .... (1.2.14)
Функция распределения не представима в замкнутом виде, и закон распределения и обозначается %2 (V).
Замечания 1.2.3. 1. Плотность / (и), зависящая от одного параметра V, обладает при малых V длинным правым хвостом, а при больших V становится почти симметричной (рис. 1.2.2).
2. Определим теперь процентиль произвольного распределения. Для любой случайной величины X значение х^/юо, определяемое равенством
Рг(Х<х,/100) = (7/100,
служит ц-й процентилью распределения X. Избранные процен-тили распределения %2 для некоторого диапазона степеней сво-
14 А. Афифи, С. Эйзен
422
Приложение I. Обзор основных понятий
боды V приведены в табл. 3, приложение П. Например, 90-я про-центиль для распределения %2 при V = 9 равна %о.эо (9) = 14.7. Из этого следует, что 90 % индивидуумов в популяции имеют значение этой случайной переменной <14.7. Аналогично, 5-я про-центиль от распределения %2 при V — 15 равна хо.сш (15) = 7.26.
1.2.7. Распределение Стьюдента
Если случайная величина 2_имеет распределение N (0, 1), а (У — распределение %2 (V) и величины Ъ и. Ц независимы, то случайная величина Т, определяемая равенством
Г= г— , (1.2.15а)
имеет распределение Стьюдента с параметром V. Параметр V представляет собой число степеней свободы. Плотность распределения Т имеет вид
/й- 1 2 ;'
— ооЧ^^ со, V = 1, 2, . .
(v+l)/2 '
(1.2.15в)
-3-2-1 0 1 2 3
Рис. 1.2.3. Плотность распределения Стьюдента с тремя вариантами значений числа степеней свободы V.
Функция распределения не представима в замкнутом виде. Закон распределения Т обозначается /(V).
1.2. Наиболее употребительные одномерные распределения
423
Замечания 1.2.4. 1. Плотность этого распределения имеет симметричную форму, более плоскую и бJ2Д^гдиp_oкJЮJ^_cpaш^e-ниюJuшpзlaлъныж.-pac.пpeдeлeниeм (рис. 1.2.3). При V ->¦ оо плотность распределения Стьюдента приближается к плотности распределения N (О, 1).
2. Верхние процентили ^-распределения приведены в табл. 5, приложение П. Например, 95-я процентиль ^-распределения при V = 10 равна ?,.95 (10) = 1.812. Вследствие симметрии, нижние
ПрОЦеНТИЛИ МОЖНО ПОЛУЧИТЬ ИЗ СООТНОШеНИЯ (V) =
= —t[-(q/^oo) (V). Следовательно, 5-я процентиль от I при V = 10 равна г0.05 (10) ='—1.812.
1.2.8. /^распределение
Если случайная величина (У имеет распределение %2 (ух), а У — распределение %2 ^.2) и величины (У и У независимы, то случайная величина
и/ч
(1.2.16)
1.00 -
0.75 -\
0.50
0.25
0.00
- р,= 16, уг= 20
0 12 3 4 5 6
Рис. 1.2.4. Плотность F-pacпpeдeлeния с тремя вариантами значений чисел степеней свободы Ух, У2.
обладает И-распределением с параметрами \г и у2. Параметры ух и у2 называются соответственно числами степеней свободы числителя и знаменателя. Плотность распределения Ш имеет вид
/ л?1 + у2 _ 2 \ |
Нт\ V 2 ) • I V! у,11
(у!-2)/2
да>0, V!, у9 = \, 2, ... . (1.2.17)
14*
Наиболее распространенные одномерные распределения
Таблица 1.2.1
Распределение Тип
Закон или плотность распределения
Среднее Дисперсия
Таблица приложении В
Биномиальное Дискретное
Луассонавскде Дискретное
Равномерное Непрерывное
(прямоугольное)
і
(1 -Р)"
Экспоненциальное Непрерывное 0 е~"
іг*Г ¦1,-'ехр(-^./2)
Нормальное
Непрерывное Непрерывное
v 2
Непрерывное
Непрерывное
пр
).
а + Ь
~Г 1
(Ь-а)2
12
2у
у-2
2^, + ^-2)
1.3. Выборки из генеральной совокупности
425
Функция распределения не представима в замкнутом виде. Закон распределения величины ~Ш обозначается F (\ъ \2).
Замечания 1.2.5. 1. Плотность F-pacпpeдeлeния имеет длинный правый хвост и асимметрия его уменьшается с увеличением V! и г2 (рис. 1.2.4).
