Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
3. Одно из важных дискретных распределений имеет закон распределения
/7(г) = Рг(Х = 0 = ^, i=l,
где k — целое положительное число. Это распределение называется дискретным равномерным (или равновероятным). Если х — реализация случайной величины X, распределенной по этому закону, то говорят, что х выбрано случайно из целых чисел 1, 2...
k. Для выполнения этой операции удобно использовать ЭВМ — сначала выбрать значение г из U (0, 1), затем вычислить у = kz + 1 и, наконец, найти х, равное наибольшему целому, не превосходящему у. Например, если k = 10, а случайное число оказалось г = 0.561, тогда у = 6.61 и х = 6. Следовательно, из набора целых чисел 1, 2, 10 будет случайно выбрано число 6.
4. Случайные числа, выбранные из интервала [0, 1 ], можно использовать для выбора случайных реализаций случайной величины с заданным известным распределением. Эта процедура обсуждается в разд. 1.6.
1.2.4. Экспоненциальное распределение
Непрерывная случайная величина X называется экспоненциально распределенной с параметром 9, если она имеет плотность распределения
/(х) = 9б-е*, х>0, 9>0, (1.2.10)
и функцию распределения
F(x)= 1 - е~вх. (1.2.11)
Если распределение числа событий в единицу времени для некоторого явления подчиняется пуассоновскому закону с параметром К, то распределение длин отрезков времени между последовательными событиями будет экспоненциальным с параметром 9 = X.
1/g 14 А. Афифи, С. Эйзен
418
Приложение I. Обзор основных понятий
1.2.5. Нормальное распределение
В приложениях статистики чаще всего используется нормальное (гауссовское) распределение. Непрерывная случайная величина X называется распределенной по нормальному закону с параметрами ц и а2, если ее плотность распределения есть
Рис. 1.2.1. Плотность нормального распределения при и, = 0 н трех значениях а2.
Поскольку функция распределения не представима в замкнутом виде, накопленные вероятности можно находить численным интегрированием (см. Ralston, Will (I960)). Нормальное распределение обычно обозначается /V (it, о'2).
Замечания 1.2.2. 1. Плотность, заданная соотношением (1.2.12), симметрична относительно имеет колоколообразную форму (рис. 1.2.1) и обладает следующими свойствами:
а) площадь под функцией плотности в пределах \i ± о равна приблизительно 0.68 (т. е. около 68 % индивидуумов в популяции
1.2. Наиболее употребительные одномерные распределения 419
имеют значения X в пределах одного стандартного отклонения от среднего);
b) площадь под функцией плотности в пределах р. + 2а равна приблизительно 0.95 (т. е. около 95 % индивидуумов в популяции имеют значения X в пределах удвоенного стандартного отклонения от среднего);
c) третий центральный момент равен нулю, а четвертый За4. Параметр р. определяет положение центра распределения, а параметр гт — форму.с уменьшением сграспределение становится круче, а максимум — выше. С увеличениеж~о график плотности распределения становится более плоским, с меньшей высотой максимума (рис. 1.2.1).
2- Пусть случайная величина X подчиняется закону распределения /V (р, о^^-Нр^обоазованная величина Z, определяемая
соотношение!<1^_^ = *п^У имеет распределение /V (0, 1), т. е.
Z обладает средним р. = 0 и стандартным отклонением а — 1. Плотность распределения Z есть
/(2) = ТШГехр (~тг)' ~~ 00 <?< + 00
Это распределение называется стандартным нормальным распределением. Если Z распределена по закону /V (0, 1), то Рг (2 < г) часто обозначают через Ф (г). Плотность случайной величины Ъ обозначается через ф (г). Значения Ф (г) приведены в табл. 2, приложение II. Например,
Рг(г< - 1.0) = 0.1587,
Рг(г > 1.0) = 1 - Рг(г< 1.0)= 1 -0.8413 = 0.1587, Рг (—1 <: г < 2) = Рг (г < 2) - Рг (г «: — 1) = = 0.9773 — 0.1587 = 0.8186.
3. Если случайная величина X имеет распределение /V (р, а2), то площади слева от заданного значения х можно получить, преобразуя X в Z, а затем воспользовавшись табл. 2, приложение II. Например, если р = 30, а а = 20, то, чтобы вычислить Рг (X «; < 25), можно воспользоваться преобразованиями:
Рг(Х<:25) = Рг (7. < 25~30 ) = Рг(г«: - 0.25) = 0.4013.
Вычисляя Рг (X $г 51), получим
Рг(Х«51) = Рг (Ъ^ 51 ~30 ) = Рг(г^1.05) =
= 1.0 -0.8531 =0.1469.
420
Приложение I. Обзор основных понятий
Окончательно,
Рг(25 <: X <: 51) = Рг(Х < 51) - Рг(Х < 25) =
= Pr (Z <: 1.05) — Pr (Z < — 0.25) = = 0.8531 -0.4013 = 0.4518.
4. Если X распределена как Л[_(р,.02), то при постоянных а и & случайная величина Y = а + ЬХ имеет распределение N (а + + Ьц, Ь2сх2).
5. Если Хх распределена как N (щ, о2), Х2 — как N (|д,2, ol), Xft — как N (ца, о|) и Хь Ха взаимно независимы,
то случайная величина Y = а + ? Ь,Хг (где а, Ьх, Ь*. — кон-
<=1
станты) также распределена по нормальному закону со средним
к к
а + ? ^ц* и дисперсией ? bfof. Следовательно, линейная ком-
*=i (=1
бинация независимых нормально распределенных случайных величин — тоже нормально распределенная величина. Более общий результат приведен в разд. 1.6.
6. Многие наблюдаемые явления подчиняются приблизительно нормальному закону распределения. По этой причине основная часть классической статистической теории предполагает нормальность рассматриваемой случайной величины. Как будет показано далее, другое основание для поддержания предположения о нормальности дает нам центральная предельная теорема, а третье — то, что некоторые полезные статистические теории не слишком сильно зависят от этого предположения.
