Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
412
Приложение I. Обзор основных понятий
распределения называется условным законом (или условной плотностью) распределения.
Для примера 1.1.3а существуют два частных распределения — частное распределение 1Х, определяющее распределение индивидуумов с хроническим бронхитом и без него, и частное распределение 1Ъ, определяющее распределение жизненной емкости легких. Если мы интересуемся распределением жизненной емкости легких у индивидуумов с хроническим бронхитом, то фиксируем 1Х = 1 и исследуем распределение Ъ2 для полученной под-популяции. Это будет условное распределение 12 при условии
гх = 1.
Теперь определим статистическую независимость двух случайных величин Хг и Х2. Говорят, что случайные величины Х1 и Х2 статистически независимы, если реализация Хх не влияет на реализацию Х2 и обратно. Иными словами, распределение Хх при заданном значении Х2 = х2 одинаково для всех значений х2 и обратно. Поэтому величины Хг и Х2 статистически независимы, если условное распределение величины Хх при условии Х2 = х2 совпадает с частным распределением величины Хх для всех значений х2. Аналогично Хг и Х2 статистически независимы, если условное распределение случайной величины Х2 при условии Хх = хг совпадает с частным распределением Х2 при всех значениях х1. Можно показать, что следующие определения статистической независимости случайных величин Хх и Х2 эквивалентны.
a) Для дискретных случайных величин р (хг, х2) = = р1 М р2 (х2) при любых хъ х2, в случае непрерывных случайных величин / (хъ х2) — /х (хг) /2 (х2) при любых х1 и х2. Следовательно, совместный закон (плотность) распределения есть произведение двух частных законов (плотностей) распределения.
b) Т7 (хъ х2) = (хг) Р2 (х2) для любых хг и х2. Это определение справедливо как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин. Следовательно, совместная функция распределения равна произведению двух частных функций распределения.
c) Рг (Хх ? ?т и Х2 ? Е2) = Рг (Хх ? ?т) Рг (Х2 ? Е2) для всех событий Ег и Е2.
Обычно будем называть статистическую независимость случайных величин просто независимостью случайных величин. Две случайные величины, не являющиеся независимыми, называются зависимыми.
Далее, к случайных величин Хг, Хк взаимно (статистически) независимы тогда и только тогда, когда Т7 (хг, хк) — — Т7! (хх) Р2 (х2) ... ?к (хк) для всех значений х1} хк. Это определение справедливо как для дискретных, так и для непре-
1.1. Основные понятия теории вероятностей
413
рывных случайных величин. Равенства а) и с) также можно распространить на случай 6 случайных величин.
Для приведенных выше примеров можно показать, что в примере 1.1.1Ь случайные величины Хи Хк взаимно независимы. То же самое верно для У"г и 11у I = 1, 6, соответственно в примерах 1.1.2Ь и 1.1.ЗЬ. В примере 1.1.1а изменения систолического и диастолического давлений должны быть зависимыми, так как диастолическое давление обязательно меньше систолического, т. е. значение систолического давления является верхним пределом для диастолического. В примере 1.1.2а следовало бы также ожидать зависимости между возрастом матери и весом ребенка при рождении и, может быть, между весом при рождении и показателем 10^ Вообще говоря, предполагать независимость случайных величин, определенных для одного и того же индивидуума, небезопасно. С другой стороны, измерения, выполненные на различных элементах популяции, вероятнее всего, независимы.
Замечания 1.1.3. 1. Совместный закон распределения р (хъ ... хк) дискретных случайных величин Хх..... Хк обладает следующими свойствами:
a) 0 р (х1г хк) 1 для всех хг, .хк;
b) Б ••• Е/>(*!, .... хн) = 1 г);
х\ ч
c) Рг («х <: Хх < 1»х, ик < Хк <. ьк) = ? ... Л р (хи •••
х1=и1 ч=Ч
• хк);
й) Р {Хх, хк) = Ц ... Ц р («х, ик)\ Н<х1 4<хк
е) Р (хд = 2] ••• 2 2] ••• 2] р{хг, хк) есть частный закон
х1 х1-1 х1+1 хк распределения ДЛЯ Х;.
-к 2. Совместная плотность распределения / (дс1( хк) для
непрерывных случайных величин Хх.....Хк обладает следующими
свойствами:
a) / (хъ хк) ^ 0 для всех хъ хк;
ОО ОО
b) | ... | / (хх, хк) йхх ... йхк = 1;
— оо —ОО
c) Рг («1 < Хх < Ух, ..., ик < Хк <: ук) = "к °1
==}... |/ (Хх.....хк) йхх ... ахк;
"к "1
1) Символ 2] означает суммирование по всем возможным значениям х(.
хс
414
Приложение I. Обзор основных понятий
хк х1
а) У7 {хг..... Хк) =| ... | /(«х, ик) &их ... йик;
—оо —оо оо оо '
е) / (хг) — \ ¦¦¦ | / (ХЪ •••> Хк) Ахх ... (1Хг_1(1х1+{ ... йхк вСТЬ —оо —оо
частная плотность распределения Х{. *
\2. Наиболее употребительные одномерные распределения
В настоящем разделе обсудим некоторые наиболее употребительные одномерные распределения, т. е. распределения одной случайной величины. В частности, обсудим распределения, использованные в этой книге. Для каждого распределения приводятся его закон распределения или плотность, а также обсуждаются возможные приложения. Итоговая таблица (табл. 1.2.1) в конце раздела содержит перечень распределений с указанием закона распределения, среднего и дисперсии.
