Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 1.1.3а. Пусть 1Х (ау) = 1 или 0 в зависимости от того, имеет ли данный индивидуум хронический бронхит, 12 (ш) есть жизненная емкость легких (в литрах) у данного индивидуума. Эти функции определяют соответственно случайные величины
Мы можем также рассматривать измерение одной и той же характеристики у к индивидуумов из № как к случайных величин. Пусть ш1( о>2, хюк суть ? индивидуумов из № и пусть X — случайная величина. Тогда мы определим ? случайных величин Х1у Х2, Хк следующим образом:
Ъх и 1.
Х1(ш1,
Х2 (шх,
. щ)
Х(гю1),
хк(щ
'1.
хы.
410
Приложение I. Обзор основных понятий
Пример 1.1.1Ь. Врач измеряет изменения систолического кровяного давления (в мм рт. ст.) у к пациентов. Следовательно, Хг ш>к) = X (ау;) равно изменению диастолического кро-
вяного давления у пациента шь / = 1, к.
Пример 1.1.2Ь. Исследователь определяет показатель 1<Э у ? детей шести лет. Следовательно, Уг (хюъ хюк) = У (шг) равно оценке 1<Э индивидуума до*, Ь = I, к.
Пример 1.1.ЗЬ. Исследователь определяет, кто из к индивидуумов болен хроническим бронхитом. Следовательно, Ъ1 (хюъ
хюк) = 2 (ш*) = 1 или 0 в зависимости от наличия хронического бронхита у индивидуума шг, 1 = 1, 6.
Теперь мы обсудим понятия, лежащие в основе вероятностной структуры популяции в терминах реализаций нескольких случайных величин, а именно понятие совместного распределения нескольких случайных величин. При любом определении Хъ ...
Хк можно представить к реализаций хг, хк как вектор, т. е. упорядоченный набор (хъ .... хк) из к чисел. Выборочным пространством 5 в этом случае является множество всех возможных векторов (хъ хк). Для Хъ Х2 в примере 1.1.1а пространство 5 есть обычная плоскость; для Уг, У2 и Уъ в примере 1.1.2а 5 есть всевозможные тройки неотрицательных целых чисел, а для 1Ъ Ъ% в примере 1.1.3а 5 есть всевозможные пары (гъ г3), где 2х = 1 или 0, а г2 — положительное целое число. Для примера 1.1.1Ь 5 есть множества всех векторов (хг, хк) с вещественными х,, т. е. 5 есть 6-мерное евклидово пространство. Для примера 1.1.2Ь 5 есть множество всех векторов (уъ ук), где У( — неотрицательные целые числа. В примере 1.1.ЗЬ пространство 5 есть всевозможные последовательности длины к, состоящие из нулей и единиц.
Как и ранее, любое подмножество Е из пространства 5 называется событием. Например, в примере 1.1.1а подмножество Е есть первый квадрант, т. е. Е = \хъ х2 | хх ^ 0 и х2 ^ 0} означает подмножество неотрицательных изменений систолического и диастолического давлений. В примере 1.1.2а имеем Е = \уъ у2, Уъ\ Уг = Ю00, у3 = 24}, что означает подмножество значений показателя 1<Э для детей, родившихся с весом 1000 г у 24-летних матерей. В примере 1.1.3а подмножество Е — \г1г 22(2! = 1} означает жизненную емкость легких у индивидуумов с хроническим бронхитом.
Чтобы дать определение вероятности события Рг (Е), проведем различие между этими двумя способами определения к случайных величин. Если величины Хь Хк представляют ? характеристик одного индивидуума, то Рг (Е) есть доля индивидуумов в попу-
1.1. Основные понятия теории вероятностей
411
ляции, наборы значений (хх, хк) которых принадлежат событию Е. Если Хх..... Хк являются значениями одной и той же
характеристики у ? индивидуумов, нужно построить новую популяцию в = \(ы)ъ тк) | ауг из IV, I = 1, Щ. Тогда Рг (Е) есть доля элементов й, наборы значений (х1У хк) которых принадлежат Е. При любом из этих определений мы можем обобщить понятие одномерной функции распределения одной случайной величины X на совместную функцию распределения к случайных величин Хх..... Хк, полагая
/=¦(*!, . . ., хк) = Рт(Х1<х1, . . ., Хк<?Хк). (1.1.13)
Здесь совместная функция распределения есть вероятность события Е = \Хг < хх и Х2 < х2 и ... и Хк < хк\. Если все Х1 дискретны, может оказаться возможным выразить вероятность события Е = \Хг = хъ Хк — хк\ как совместный закон распределения р (хъ хк). Если все Хг непрерывны, то можно распространить понятие плотности распределения одной случайной величины на случай совместной плотности распределения / (х1у хк) к случайных величин. Вероятности событий можно тогда получить интегрированием (см. замечание 1.1.3.2). Вместо соотношения (1.1.6) в многомерном случае справедливо равенство, которое мы приведем для ? = 2:
Рг (их < Хг «с м2 < Х2 <: и2) =
=/=¦(«!, у2) — Р(у1} и2) — /=¦(%, у2) + ^(«1. "г)- (1.1-14)
Рассмотрение к случайных величин, одни из которых непрерывны, а другие дискретны, выходит за пределы настоящей работы. Ссылки на литературу можно найти в книге АПН, Е1авЬоГГ (1969).
Рассмотрим другие распределения, связанные с совместным распределением величин Х1г Хк. Распределение случайной величины Х1 называется частным (или маргинальным) распределением величины Х{, I = 1, к. Это то же самое, что распределение Х(, рассматриваемое отдельно. Соответствующий закон (или плотность) распределения называется частным законом распределения (или частной плотностью распределения). Совместное распределение подмножества т случайных величин, 1 < т < < ?, при фиксированных значениях остальных к — т случайных величин, называется условным распределением и выводится следующим образом. Переставим случайные величины так, чтобы были фиксированы значения Хт+1, Хк (Хт+1 = хт+1, Хк = хк). Тогда распределение Хъ Хт в подпопуляции, для которой Хт+1, Хк фиксированы, называется условным распределением Хи Хт при условии Хт+1 = хт+1, Хк = = хк. Как и прежде, условное распределение может быть дискретным и непрерывным, и соответствующий закон (или плотность)
