Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
Г Ь
Е ipi
а в примере 1.1.3
V(Z) = (0-p)2(l -р) + (1 -р)2р = р(1 -р), так как Е (Z) = р.
1.1. Основные понятия теории вероятностей
407
Замечания 1.1.2. -к 1. Для непрерывной случайной величины X с плотностью распределения / (х) математическое ожидание имеет вид
Е(Х) = \ хКх)йх.
—сю
Математическое ожидание функции g (X) есть
сю
ШХ))= \ ё(х)!(х)(1х.
— оо
Дисперсия выражается формулой
оо
сг3 = Е (X — Е (X))2 = _[ (х - Е {х))г! {х) йх. *
—оо
2. Среднее р. является характеристикой положения центра распределения (мерой центральной тенденции). В физическом смысле р, есть центр тяжести графика закона распределения или плотности. Другими аналогичными характеристиками являются медиана и мода распределения случайной величины. Медиана — это такое значение М, что
Рг (X < М)5з 1/а и Рг(Х^М)^1/2.
Медиана не обязана быть единственной. Например, рассмотрим следующее распределение:
х | 0 1 2 3 рх\Ув % 3/8 1/8
Медианой будет произвольное значение М, такое, что 1 < М <: 2, так как при М = 1
Рг(Х<;М) = Ч2, Рг(Х^/И) = 7/8-
при М = 2
Рг(*«:Л!) = 7/в, Рг(Х>М) = 1/2, и для 1 < М <! 2
Рг (X < /И) = = Рг (X > /И).
Так как в этом случае медиана не единственна, условимся выбирать в качестве медианы срединное значение М = (1 + 2)/2 = = 3/2. С другой стороны, в распределении -
х |0 1 2
Рх I */4 1/4
408
Приложение I. Обзор основных понятий
имеется единственная медиана М= 1, так как только это значение удовлетворяет определению. Если X — непрерывная случайная величина, то М выбирается так, чтобы
Рг(Х^М) = Рт(Х >М) = 1/1.
Модой распределения является то значение (или значения) X, при котором закон или плотность распределения имеет максимум. Таким образом, для последнего из приведенных выше примеров мода равна 1. Такое распределение называется унимодальным. Для первого из приведенных выше примеров существуют две моды: 1 и 2. Такое распределение называется бимодальным .
При сравнении этих трех мер положения центра распределения можно заметить, что все они совпадают для симметричных унимодальных распределений. Среднее обладает наиболее привлекательными свойствами с точки зрения теории. Медиану иногда бывает затруднительно вычислять, особенно если требуется упорядочение реализаций. Однако она может оказаться более значимой мерой положения центра для асимметричного (или скошенного) распределения, например, как в примере 1.1.2. Мода особенно полезна для приложений к теории игр и принятия решений.
3. Дисперсия о2 = V (х) является мерой рассеяния (или из-менчивосши) распределения. Стандартное отклонение а = УУ(х) измеряет ширину распределения в тех же единицах, которые используются для измерения реализаций случайной величины. Другой мерой рассеяния является среднее абсолютное отклонение, определяемое как математическое ожидание абсолютной величины разности между случайной величиной X и ее средним. Иногда в этом определении вместо среднего используется медиана. Среднее абсолютное отклонение интуитивно привлекательно, так как оно измеряет «среднее отклонение». Однако дисперсия легче трактуется математически и поэтому в большинстве приложений используется именно эта характеристика.
4. Следующие соотношения справедливы для математического ожидания и дисперсии:
a) Е (а + ЬХ) = а + ЬЕ (X), где а и Ь — константы. Умножение случайной величины на константу Ь (т. е. изменение ее шкалы) меняет шкалу среднего в то же число раз. Аналогично прибавление константы а к случайной величине X (т. е. изменение начала координат) соответственно смещает среднее на ту же величину.
b) V {а + ЬХ) = Ь2У (X), где а и Ъ — константы. Умножение случайной величины X на константу Ь увеличивает дисперсию в Ь2 раз (т.е. увеличивает стандартное отклонение в \Ь\ раз). Однако добавление константы а не изменяет дисперсии.
1.1. Основные понятия теории вероятностей
409
5. Среднее, медиана, мода, дисперсия и высшие моменты являются характеристиками распределения и, следовательно, его параметрами. Некоторые из этих параметров (или функций от них) могут входить в закон или плотность распределения.
1.1.6. Несколько случайных величин
Во многих случаях приходится измерять несколько характеристик элемента ш из популяции №'. Это приводит к необходимости определить несколько случайных величин Хъ Х2, Хк (1 < <] к < со). Любая случайная величина Х% есть функция, ставящая в соответствие каждому элементу хю из № число Хг (ш), 1 = 1, ...
к. Конкретное значение яг, которое принимает Хь для данного по, есть реализация Хь 1 = 1, ?.
Пример 1.1.1а. Врач измеряет у каждого пациента как систолическое, так и диастолическое давление. Пусть Хг (ш) — изменение диастолического давления (в мм рт. ст.), а Х2 (м) — изменение систолического давления крови (в мм рт. ст.), причем оба показателя измерены у пациента хю. Эти функции определяют соответственно случайные величины Хг и Х2.
Пример 1.1.2а. В исследовании 10, определяются Уг (т) — показатель 10, в шестилетнем возрасте у ребенка ш, У2 (ау) — вес при рождении (в граммах), и У3 (а>) — возраст матери (в годах) в момент рождения ребенка. Эти функции определяют соответственно случайные величины Уг, У2, У3.
