Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
Важным понятием, относящимся к непрерывным случайным величинам, является понятие плотности распределения вероятностей (или частотной функции). Плотность2) / (х) непрерывной случайной величины X есть неотрицательная функция, определенная так, что (х) равна площади под графиком / (х) слева от точки х. Это — непрерывный аналог равенства (1.1.5). График / (х) называется графиком плотности распределения (иногда —
*) Точное определение непрерывности функции дано, например, в книге Ииот (1964).
2) С точки зрення дифференциального исчисления плотность / (л;) является
п / ч <¦ / ^ № (х) про изводнои от Г (X) по х, т. е. / (X) =-——¦ .
1.1. Основные понятия теории вероятностей
403
кривой частот). Плотности распределения (а следовательно, и функции распределения) можно также характеризовать их параметрами.
о
Г(г)
• • • ¦
•
- -
& 0 1 1 11
Рнс. 1.1.2. а — функция распределения примера 1.1.3; Ь — функция распределения прямера 1.1.2.
Рис. 1.1.3 иллюстрирует плотность и функцию распределения непрерывной случайной величины. На этом рисунке площадь заштрихованной области под графиком / (х) слева от точки х0 есть вероятность того, что X < х0. Она равна Б (х0) на верхнем графике. Из этого графика видно также, что площадь под графиком / (х) между и и и можно выразить через функцию распределения Р:
Рг(м<Л:«:у) = /7(у)-/7(м). (1.1.6)
Некоторые из употребительных дискретных и непрерывных распределений обсуждаются в разд. 1.2.
404
Приложение I. Обзор основных понятий
Замечание 1.1.1. 1. Закон распределения р (х) дискретной случайной величины обладает следующими свойствами:
a) 0 <: р (х) < 1 для всех х\
оо
b) 2 р(х) = 1, т. е. сумма р(х) по всем возможным значениям*
оо
равна единице;
0.20 0.00
0.40 0.20
0.00
о а
^плотность /Сх)
" ш
¦
Рис. 1.1.3. а — функция распределения и Ь — плотность распределения непре» рывной случайной величины.
* 2. Плотность распределения / (х) непрерывной случайной величины обладает следующими свойствами: а) / (х) ^ 0 для всех х;
Ъ) \!{х)йх = 1;
1.1. Основные понятия теории вероятностей
405
с) Рг (и < X <: и) = | / (х) йх\
и
х
й) Т7 (х) — | [(и) йи. Следовательно, ^ = / (х).-к
—со
3. Для произвольной случайной величины X функция распределения Р (х) обладает следующими свойствами:
a) У7 (—оо) = 0, ^ (оо) = 1;
b) Т7 (х) — неубывающая функция х\
c) Рг (и < X < V) = Т7 (V) — ^ (и).
4. Для непрерывной случайной величины X справедливо следующее соотношение:
Рг (X ^х) = Рг(Х<х). 1.1.5. Математическое ожидание
Математическое ожидание Е (X) случайной величины X можно интуитивно считать средним значением реализаций X (ш) по всем до из популяции ХР. Для обоснования общего определения математического ожидания мы сначала ограничимся конечной популяцией. Пронумеруем последовательно индивидуумы в этой популяции так, чтобы ш = 1, 2, N. Математическое ожидание (среднее) случайной величины X (обозначаемое также буквой и.) выражается формулой
N
ц = ?(Х) = 4- ? (1.1.7)
Если мы обозначим различные элементы выборочного пространства 5 через х±, хк (К < Л7), то можно записать и. в виде
к
ц = = -, (1.1.8)
где л*. — число элементов из ХР со значениями я*. Но по определению (пкШ) = рх , и, следовательно, можно записать
к
И=Е**Р*Л. (1-1-9)
4=1
Это определение применимо к дискретным случайным величинам как в случае конечной популяции, так и в случае счетной. Однако если ХР счетна, то не существует стандартного способа
406
Приложение I. Обзор основных понятий
эмпирического получения вероятностей рх иначе, как с помощью
соответствующего закона распределения. В этом случае имеем
к
(А=Е**р(**), (М.10)
6=1
где К может быть бесконечным. В примере 1.1.2 получим
?(У)= Е ipt,
а в примере 1.1.3 —
?(Z) = 0(1 -р) + 1(р) = р.
Равенство (1.1.10) можно обобщить на случай непрерывной случайной величины X, заменяя суммирование интегрированием, а закон распределения р (х) — на функцию плотности распределения f (х) (см. замечание 1.1.2.1).
Понятие математического ожидания распространяется на произвольную функцию g (X) от X. Математическое ожидание Е (g (X)) функции g (X) от случайной величины X есть среднее значение g (X (w)) для всех w из W. Таким образом, для дискретной случайной величины из равенства (1.1.9) получим
E(g(X))=\bg(xk)Pxk (1.1.11)
и аналогичное соотношение для непрерывного случая.
Особый случай составляют функции g (X) вида X1 и [X — Е (X) У для i^l. Математические ожидания Е (X1) и Е IX — Е (X) У называются соответственно i-м моментом относительно нуля (или i-м начальным моментом) и i-м моментом относительно среднего (или i-м центральным моментом). Второй центральный момент называется дисперсией и обозначается через сг2 или V(^)- Положительный квадратный корень из дисперсии называется стандартным отклонением о или [V (X)V>2.
Заметим, что V (X) можно выразить в виде
У(Х) = Е[Х -Е{Х)? = Е{Х2) -[Е(Х)\\ (1.1.12) Таким образом, в примере 1.1.2 дисперсия равна
ь
i—a
