Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Афифи А. -> "Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ" -> 147

Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.

Афифи А., Эйзен С. Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ. Под редакцией Башарина Г.П. — М.: Мир, 1982. — 488 c.
Скачать (прямая ссылка): stap1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 141 142 143 144 145 146 < 147 > 148 149 150 151 152 153 .. 183 >> Следующая

1.1.3. Вероятность
В основе большей части статистической теории лежит понятие вероятности, связанное со случайной величиной. В случае дискретной случайной величины X вероятность того, что X принимает значение х, есть доля рх индивидуумов в генеральной совокупности, обладающих значением х. Запишем это отношение в виде Рг (X = х) = рх. [В некоторых работах используется обозна-
*) Дискретные выборочные пространства включают также бесконечные счетные множества.
2) Множество неотрицательных целых чисел является бесконечно счетным.
400
Приложение I. Обзор основных понятий
чение Р (X = х) или Р (х).] Для двоичной случайной величины примера 1.1.3 имеем Рг (1 = 1) = р и Рг (I = 0) = 1 — р, где р — доля индивидуумов с хроническим бронхитом в генеральной совокупности. Пусть для дискретной случайной величины примера 1.1.2 величина р1 есть доля детей с высоким риском, имеющих в шестилетнем возрасте показатель 1<Э, равный I. Тогда Рг (У = I) — ри I = а, а + 1, Ь, где а и Ь — соответственно минимальное и максимальное значения показателя 1<Э. Очевидно, что Рг (У — 0 = 0, если г <<а или I > Ъ.
Для дискретной случайной величины X введем Е = \хъ ...
хп] — событие из выборочного пространства 5. Тогда вероятность того, что величина X принимает некоторое значение хг из Е, есть сумма вероятностей рх, связанных с каждым хи 1 = 1,...
п. Символически можно записать
Рг(Х?Е)=ЬрХ1= Е ДсД (1ЛЛ)
[В других работах левая часть этого равенства записывается в виде Рг (X в Е) или Рг (?). ] Очевидно, что
Рг(^е5)= Б РХ[=\- (1.1.2)
В примере 1.1.2 положим Е = {85, 115}. Тогда вероятность Рг (У ? Е) того, что показатель 1<Э ^ 85 и 10, < 115, имеет вид
115
Рг(85^7==с 115) = Г Р1.
<=85
Аналогично, вероятность Рг (У Ф- Е) того, что показатель 1<Э > > 115 или 1<Э <;85, запишется в виде
84 Ь
Рг(Г<85 или У>115)= Ъ Рь+Т Рг
1=а 116
Так как Рг (а <: У < Ъ) — 1, можно также написать
115
Рг(У<85 или У>115) = 1— Ъ Рг
<=85
Для любой случайной величины X вероятность того, что X принимает значение из данного события Е, равна доле индивидуумов в генеральной совокупности, для которых значения X (пу) лежат в Е. Следовательно, в примере 1.1.1 Рг (X ? Е), где Е = = {#Ц19 < х < 48}, или Рг (19 < X < 48), означает долю индивидуумов в генеральной совокупности с изменением диастоли-ческого давления в интервале 19 < х <: 48.
*) Это обозначение читается «сумма рХ1 по всем х{, принадлежащим ?».
1.1. Основные понятия теории вероятностей
401
Для любой случайной величины можно написать полезное соотношение для неперекрывающихся (несовместных) событий ?1, Е2, Ек. Вероятность того, что величина X принадлежит какому-либо из этих событий (объединению Еи Ег, Ек) есть сумма вероятностей событий Е(, ? — 1, к. В символической записи имеем
Рг(Хе(?1и?2и...и^))= 2]Рг№), (1.1.3)
1=1
где ?(• несовместны, ё = 1, к. Символ и соответствует объединению событий, а выражение/Х ? (^и^и ... \\Ек)ъ читается «X принадлежит ?, или Ег, или или Ек*.
1.1.4. Распределение случайной величины
Распределение случайной величины X служит средством описания вероятностной структуры генеральной совокупности в терминах реализаций величины X. Распределение дискретной случайной величины называется дискретным распределением, и его можно задать перечислением значений рх = Рг (X = х) для каждого х в выборочном пространстве 5. Во многих случаях можно задать математическую функцию р (х), связывающую рх с х. Функция р (х) называется законом распределения (или вероятностной функцией) дискретной случайной величины X. Законы распределения характеризуются константами, которые называются параметрами. Параметром может служить любая характеристика генеральной совокупности.
Для примера 1.1.3 дискретное распределение можно задать с помощью таблицы
г | о 1
Рг | 1 — Р Р
где р — доля индивидуумов с хроническим бронхитом в генеральной совокупности. Эту таблицу распределения вероятностей дискретной случайной величины г можно также задать с помощью закона распределения
( Рг(1-рУ-г Для г =0,1,
Р\г) — \ 0 в остальных случаях.
Этот закон распределения характеризуется единственным параметром р. Для примера 1.1.2 таблица распределения вероятностей имеет вид
у | а а+ 1 . . . Ь Ру I Ра Ра+1 ¦ ¦ ¦ РЬ
402
Приложение I. Обзор основных понятий
где ру — доля детей, у которых в шестилетнем возрасте показатель 1<Э равен у.
Для произвольной случайной величины X функция распределения ^ (х), часто обозначаемая аббревиатурой ФР, определяется равенством
/=¦(*) = Рт(Х^х). (1.1.4)
Для дискретной случайной величины X с законом распределения р (х) из равенства (1.1.1) получим, что
Р(х)=Ър{и). (1.1.5)
Для примера 1.1.3 функция распределения имеет вид
10, если 2<0, 1 — р, если 0 2< 1, 1, если 1;
она изображена на рис. 1.1.2, а. Функция распределения для примера 1.1.2 имеет вид
0, если у <а,
у
2 Рс, если а « г/ < К, 7 = а, а + 1.....Ь — 1,
Р{У) =
I 1, если у-^Ь;
она изображена на рис. 1.1.2, Ь.
Отметим, что на обоих рисунках функция распределения имеет «скачки» или «ступеньки» при некоторых значениях случайной величины. Если функция ^ (х) непрерывна г) по х, т. е. график ^ (х) не имеет скачков, то случайная величина X называется непрерывной случайной величиной, а ее распределение называется непрерывным распределением.
Предыдущая << 1 .. 141 142 143 144 145 146 < 147 > 148 149 150 151 152 153 .. 183 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed