Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
390
Гл. 5. Методы многомерного статистического анализа
вестей и равен 1 — а. Для обобщения одномерного случая предположим, что рх, ]хк — средние значения для соответствующих
ПОПуЛЯЦИЙ, Пи я| — объеМЫ Выборок, Хг.,
— групповые выборочные средние и МЭн? — (остаточный, ИЛИ ошибочный) внутригрупповой средний квадрат. Тогда множественный 100 (1 — а) %-ный доверительный интервал Шеффе для
контраста 2 л^р,- при Е^г — 0] имеет вид
<=1 \ (=1 /
ЕМг±5, (5.8.16)
1=1
где
к
52 = (/г-1)М5ш^и-а)(?-1, л-*)?Х?/я,. (5.8.17)
1=1
В однофакторном многомерном дисперсионном анализе доверительные интервалы для всех переменных одновременно могут быть получены из одномерного интервала, заданного формулой (5.8.16). Прежде всего для этого требуется знание верхней 100 (1—а)-й процентили (/-распределения. Для больших п она может быть приближена величиной
Х1-д[Р (&- 1)1
- 1 - (1/2) (р + к)
(5.8.18)
^1-а-ехр
Определим
= №-<*)-!• (5-8.19)
Тогда, если в выражении (5.8.16) считать 1-м групповым средним для любой из переменных Уь Урвеличину Хг., то соответствующий многомерный совместный 100 (1 — а) %-ный доверительный интервал задается как
к
Т М< ± О, (5.8.20)
(=1
где
* X2
1=1
Совместный доверительный уровень этих интервалов для всех контрастов и для всех переменных равен 1 — а.
Имеется возможность одновременно проверять несколько одномерных гипотез при заданном уровне значимости а. Особый ин-
5.8. Многомерный дисперсионный анализ
391
терес представляют одномерные критерии дисперсионного анализа, соответствующие р переменным Уг, Ур. Пусть ^ — критерий проверки гипотезы о том, что среднее величин У; одно и то же для всех к популяций, I = 1, р. Тогда гипотеза отвергается при
где определяется выражением (5.8.19). Совместный уровень значимости для всех этих критериев равен а, i — 1, р.
Замечание 5.8.4. В доверительных интервалах, заданных формулами (5.8.20)—(5.8.21), и критериях (5.8.22) используется величина tyi_a, основанная на А-критерии Уилкса. Можно написать аналогичные процедуры, в которых i|)x_a основывается на других критериях, например на критериях, приведенных в замечании 5.8.1. Те, кто заинтересуется этим вопросом, могут ознакомиться с работой Gabriel (1968).
Пример 5.8.1 (продолжение). Поскольку гипотеза о равенстве трех векторов средних отвергается, можно задаться вопросом, какая переменная, или комбинация переменных, является тому причиной. Итак, одновременно проверяются 16 одномерных гипотез дисперсионного анализа. Одномерные критерии Ft приводятся в табл. 5.8.3 и остается лишь определить Полагая а = 0.05, получим из (5.8.18)
По формуле (5.8.19) имеем -ф0.95 = 1/0.9025 — 1 = 0.1080. Согласно выражению (5.8.22), каждое значение F,• сравнивается с ((461 — 3)/2) (0.1080) = 24.73. Ни одно из значений из табл. 5.8.3 не превосходит этого значения. Последнее означает, что ни одна из одномерных гипотез дисперсионного анализа не отвергается, хотя многомерная гипотеза отвергается. Это может служить примером часто встречающейся ситуации, когда нельзя найти понятной причины непринятия общей гипотезы с помощью процедуры множественных сравнений. Можно только сказать, что существует линейная комбинация переменных, для которой средние значения в разных популяциях сильно различаются. Для обнаружения таких контрастов, как правило, требуется длительное исследование.
Для иллюстрации процедуры построения доверительных интервалов рассмотрим контраст У8 (переменная с максимальным
г. ^ я — k ,
(5.8.22)
и,
0.95 = еХР
Хо.95 (32)
461 _ 1 _ 1/2 (16 + 3)
392
Гл. 5. Методы многомерного статистического анализа
Fj), например р2—ц3. Согласно табл. 5.8.1, эту величину можно оценить числом 5.5 — 4.2 = 1.3. Используя табл. 5.8.3, для У~8 имеем МБГ = 30.047/8.342 = 3.602. Тогда из (5.8.21) б2 = = (461 — 3) (3.602) (0.1080) [(1)2/29 + (—1)2/399] = 6.59. Таким образом, 95 %-ный совместный доверительный интервал (5.8.20) имеет вид 1.3 ± убМ = (—1.27, 3.87).
Упражнения
Замечания. 1. Буквой А обозначается набор данных из примера 1.4.1, табл. 1.4.1 и 1.4.2, буквой В — набор данных из примера 1.4.2, табл. 1.4.3 и 1.4.4.
2. В наборе А все непрерывные переменные могут считаться нормально распределенными, кроме С1, А1, МСТ, РУ1; для последних предполагается нормальное распределение логарифмов. В наборе В все непрерывные переменные также предполагаются нормально распределенными, за исключением систолического и диастолнческого давлений (1950 н 1962), логарифмы которых также могут считаться нормально распределенными.
Раздел 5.1
5.1.1 (для работы в аудитории). Соберите данные роста, веса и возраста у всех студентов группы мужского пола и проведите анализ выбросов. Объясните результаты.
5.1.2. Выполните упр. 5.1.1 для всех студенток группы. Имейте в виду, что выбросы могут появиться в результате неверных ответов.
Раздел 5.2
5.2.1 (набор данных А), а) Используя данные в начале лечения для всех больных, проверьте, равен лн выборочный вектор средних с координатами Хг = = БР, Х2 = НД, Х3 = БР, Х4 = МУР вектору средних для здоровых лиц, определяемому так:
