Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
Однофакторный многомерный дисперсионный анализ
Пусть пг, nk (п = Utii) — число наблюдений, полученных из k популяций, и У1г, Ypr — выборочные средние значения р переменных для r-й выборки, п = 1, k. Кроме того, пусть (S\?) — матрица остаточных сумм квадратов и произведений^для r-й выборки с пг — 1 степенями свободы. И наконец, Ylt Yp — общие средние значения, a (S^) — несмещенная-оценка матрицы сумм квадратов и произведений для выборки, полученной объединением всех имеющихся выборок в одну. Обобщая одномерный дисперсионный анализ, определим
B,i = Ь nrYtrY.r — tiYiY- (5.8.11)
как сумму произведений между популяциями и
? Si;' (5.8.12)
как сумму произведений внутри популяций, i, j = 1, p. Эти величины представлены (см. ниже) в таблице многомерного дисперсионного анализа (MANOVA-таблица). Д-критерий проверки гипотез о равенстве средних значений для k популяций имеет вид
Л=|^ВГ (58ЛЗ)
5.8. Многомерный дисперсионный анализ
385
где |WI и |B + W| — соответственно определители матриц (W,j) и (В„) + (Wu).
Источник дисперсии Число степеней свободы Матрица сумм произведений
Между k — ! (Вп)
Внутри п — k
Полная п - 1 (Sis)
Статистика Л имеет ^-распределение с р, k — 1 и /г •— k степенями свободы (Anderson (1958, с .191 и далее)). За исключением специальных случаев, процентили [/-распределения бывает трудно вычислить и поэтому на практике обычно используется одна из двух аппроксимаций. Так, вопрос о том, следует ли отвергать проверяемую гипотезу, можно решить сравнением величины
Х2 = _ (л _ 1 _ i/a (/> + ?)) In А (5.8.14)
с процентилями ^-распределения с р (k — 1) степенями свободы. С другой стороны, можно использовать /^-аппроксимацию U\
где
1 . . "|/ р2 (k— I)8 —4
т = п— 1—2"(р + &), S = V
р2 + (Й — |)2-5 '
р (fe— 1) — 2 _ P(fe-l) --4~- и г--2-•
Гипотеза отвергается, если F > FUa с 2г и (ms — 2л) степенями свободы. Поскольку числа степеней свободы необязательно целые, при пользовании таблицами может потребоваться провести интерполяцию. Аппроксимации типа %г предложил Bartlett (1947), а типа F— Rao (1951).
Пример 5.8.1 (продолжение). В табл. 5.8.1 приводятся средние и стандартные отклонения 16 факторов по трем группам для п = 461. Для проверки гипотезы о различиях средних значений этих факторов для различных групп использовалась программа многомерного дисперсионного и ковариационного анализов. Поскольку для работы этой программы требуется, чтобы выборки из всех популяций имели одинаковые размеры, из каждой группы была взята выборка nt = пг = п3 = 29 служащих (п = 87). (29 — число служащих негроидной группы в исходной выборке.)
13 А. Афифи, С, Эйзен
386
Гл. 5. Методы многомерного статистического анализа
Таблица 5.8.1
Средние факторов и стандартные по группам отклонении 16 личностных
Группа
Фактор „п. = 33 Латиноамериканцы п2 = 29 Негроиды «3 = 399 Европеоиды
Ух 5.0 ± 2.0 5.1 ± 2.0 4.2 ± 2.0
Уг 6.6 ± 2.0 5.9 ± 2.1 6.7 ± 1.8
Уз 5.6 ± 1.7 5.4 ± 1.4 5.8 + 1.8
у* 5.7 ± 2.1 6.5 ± 1.7 6.2 ± 2.0
у» 5.5 ± 1.8 5.5 ± 2.4 5.3 + 2.1
у* 5.6 ± 2.1 6.4 ± 1.6 5.9 ± 1.9
у-, 5.7 ± 1.8 5.7 ± 2.2 5.1 ±2.1
у» 5.0 ± 1.8 5.5 + 2.1 4.2 ± 1.9
у* 5.3 ± 1.6 6.0 ± 1.8 5.4 ± 2.0
Ухо 5.3 + 2.0 5.0 ± 2.1 5.0 ± 1.7
Ун 5.5 ± 1.7 5.7 ± 1.9 5.7 ± 1.8
Ух 2 4.4 ± 1.7 5.3 ± 1.9 5.1 ± 1.8
У|3 4.7 ±2.1 6.0 ± 1.9 5.0 ± 1.9
Ух* 5.4 ± 1.8 5.2 ± 2.3 6.1 ±2.2
Ух 5 6.2 ± 2.0 6.0 ± 1.9 6.0 ± 1.9
Ух, 4.4 ± 1.7 5.3 ± 1.5 5.4 ± 2.1
Программа вычисляет значения следующих характеристик: а) матриц сумм квадратов и произведений (В*;) и Ь) групповых средних каждого из 16 факторов, с) общей дисперсии, [/-статистики и ее F-aппpoкcимaции. Результаты работы программы выводятся в виде таблицы, приведенной ниже.
Источник дисперсии 1п обобщенной дисперсии и Число степеней свободы F-an-прок-сима-ция Число степеней свободы
Между 86.817 0.541 16, 2, 84 1.55 32, 138
Внутри 86.203
Таким образом, и = А = 0.541 имеет ^-распределение с 16, 2 и 84 степенями свободы. Для проверки гипотезы Я0: «различие, обусловленное принадлежностью к определенной группе, отсутствует» можно вычислить х2 = —(87 — 1 — (Чг) (16 + 3)) X X 1п 0.541 = 47.0. Далее следует сравнить это число с процен-тилями распределения %2 с 16 (2) = 32 степенями свободы. Производя интерполяцию в табл. 3, приложение II, получим
5.8. Многомерный дисперсионный анализ
387
Хо.95 (32) г» 46.2. Таким образом, гипотеза Н0 отвергается при Р <=: 0.05. Гипотезу Н0 можно проверить также с помощью аппроксимации Р0 = 1.55 с 32 и 138 степенями свободы. В этом случае Р-значение лежит в интервале 0.05 <Jp <j0.10.
Замечания 5.8.2. 1. Однофакторный многомерный дисперсионный анализ можно провести с помощью программы проверки общей многомерной линейной гипотезы. При заданной матрице плана эту программу можно использовать для проведения сбалансированного или несбалансированного многомерного дисперсионного или корреляционного анализов. Итак, с помощью этой программы решается задача (5.8.3) и проверяются гипотезы, заданные в виде (5.8.8). На самом деле проверяется даже более общая гипотеза вида
