Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Афифи А. -> "Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ" -> 140

Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.

Афифи А., Эйзен С. Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ. Под редакцией Башарина Г.П. — М.: Мир, 1982. — 488 c.
Скачать (прямая ссылка): stap1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 134 135 136 137 138 139 < 140 > 141 142 143 144 145 146 .. 183 >> Следующая

Пример 5.8.1. Данные для этого примера взяты из исследования, проведенного на основе специальных анкет, заполненных на 461 судебного исполнителя мужского пола в округе Лос-Анджелес (подробности этого исследования см. в Snibbe et at. (1975)). Анкета Form A (Cattell et at. (1970)) оценивает 16 факторов, характеризующих личность опрашиваемого. Было интересно классифицировать судебных исполнителей на 3 группы: латиноамериканцы, (пг = 33), негроиды («г = 29) и европеоиды (п3 = 399). В данном случае п= 461,4и = 16 и \t —вектор из 461 наблюдения і-то фактора, і = 1, 16.
Для t-ro фактора в принятых обозначениях модель имеет вид
Уі/ = |і/Х 1 +cttlX{1 + aitXjt + el], t = l,...,16, / = 1,...,461.
Здесь ?j = ([ij, ап, al2)' — вектор из т = 3 параметров, соответствующий t-му фактору. Строка с номером / матрицы X' имеет вид (1, Хп, Xj2), j = 1, 461, где переменные Хп и Х}2 определяют группу, т. е. для /-го индивидуума
1(1, 0), если он латиноамериканец, (0, 1), если он негроид, (—1, —1), если он европеоид.
Заметим, что г = т — 3 и модель в матричной форме записывается следующим образом:
;• Vi
Уі.зз •" Уіб. 33 ^1,34 ¦" ^16, 34
Уі.62 "' Уіб. 62 ^1,63 ' ^16,63
.^1,461 "' ^16,461
I 1 о
II 0
1 -1 1 -1
Ml /'2
«и a2i
at2 «22
Ріь аіб, і
«16,2.
+ е.
382
Гл. 5. Методы многомерного статистического анализа
5.8.1. Оценки параметров
Можно показать, что оценкой ?^ служит МНК-оценка, использующая наблюдения только переменной Y, (Rao (1965)). Таким
образом, аналогично одномерной линейной модели, оценка ?; параметра ?j получается в результате решения системы нормальных уравнений
(XX)' ?, = XY(, (5.8.4)
где і = 1, p.
Несмещенная оценка аи, как и для одномерного случая, имеет вид
n—r n — r ' v '
где г — ранг матрицы X'. Несмещенной оценкой для аа будет
4§f-. <•/-¦.....р- <^>
Величина R0 (і, і) называется остаточной суммой квадратов, a R0 (і, J) — остаточной суммой произведений. Матрица
'Ao(U) ¦• *о(1.Р)" R0(p, 1) - Хо(р,р).
называется матрицей остаточных сумм квадратов и произведений.
Пример 5.8.1 (продолжение). Для f'-й переменной, i = 1, 16
461 33 62
^ = Ж S Yi" = "33 S Yi' ~~ ^ " U'2 " 29" S ~ ^
/=1 /=1 /=34
Несмещенные оценки для агг и ст^ суть соответственно дн =
461 461
= S(^-^u)2/(461-3) ид„ = S (Гг/;-Г«)'(Г^-У^)/(461 -/=1 fc=l
— 3). Здесь = рг + апХп + ЩгХн. 5.8.2. Проверка линейных гипотез
В работах Rao (1965) и Anderson (1958) описывается проверка гипотез для обобщенной многомерной линейной модели. Мы рассматриваем специальный случай одновременной проверки не-
5.8. Многомерный дисперсионный анализ
383
скольких одномерных гипотез, каждая из которых делается относительно отдельной переменной. Следовательно, требуется одновременно проверить гипотезы
H0:H'fr--t:, i=\,...,p, (5.8.7)
или, в более компактной записи,
H'? {U2 . . . 1P], (5.8.8)
где матрица (H')sXm имеет ранг ,s<r и векторы Щх1 предполагаются заданными. Если эта гипотеза выполняется, то получается модель с ограничениями, на основе которой можно найти оценки р\* параметров ft и матрицу Rx остаточных сумм квадратов и произведений. Матрица Rx — R0 называется матрицей сумм квадратов и произведений, обусловленных отклонением от гипотезы. Разложение RL в виде R0 + (Ri — Ro) является обобщением одномерного дисперсионного анализа. Таким образом, отклонение от гипотезы Я0 может быть определено сравнением матриц R0 Ri - R0.
В работе Rao (1965) показано, что при вычислении статистики критерия для проверки гипотезы (5.8.8) требуется определить р корней %р характеристического уравнения
Ro-A-Ril
0.
(5.8.9)
Для проверки гипотезы могут быть использованы различные функции, зависящие от Х1. Одним из критериев может служить проверка минимального корня (т1пА,,), поскольку он отражает максимальное отклонение от гипотезы Я0. Другим критерием, часто используемым в программах, является ^-критерий Уилкса (\Vilks (1932)):
Л=^...Яр = |М. (5.8.10)
Пример 5.8.1 (продолжение). Пусть требуется одновременно проверить гипотезу для обычного однофакторного дисперсионного
анализа, именно Я0 : ап = ai2 факторов. В этом случае
ais = 0 Для всех шестнадцати
Н'
0 1 о
0 0 1
и Ь
i = 1,
16.
Замечания 5.8.1. 1. Пусть 8Е = Rfl— матрица остаточных сумм квадратов и произведений, а 8Н = Rl — R0 — матрица сумм квадратов и произведений, обусловленных отклонением от гипотезы. Тогда Лкритерий Уилкса можно представить в виде
384
Гл. 5. Методы многомерного статистического анализа
Л = | SE11SH + SEI"1. Существуют еще два критерия проверки гипотезы Н0:
jv chmax (SHS?')
где символом chmax обозначен максимальный характеристический корень, и
н) trlSnSi1),
где tr — след матрицы (сумма диагональных элементов). При р = 1 они совпадают с Л-критерием. В работе Smith et al. (1962) приводится анализ этих трех критериев на примере четырех групп, р = И, и при двух сопутствующих переменных.
2. В качестве еще одного критерия часто используется статистика Роя
Chmax (ShSe
5.8.3. Проверка различий в средних значениях для нескольких популяций.
Предыдущая << 1 .. 134 135 136 137 138 139 < 140 > 141 142 143 144 145 146 .. 183 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed