Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
/ = 1,...,«, (5.7.28)
1=1
где — оценка значения /-фактора, г( — стандартизованная оценка значения 1-й переменной, т. е.
з = *' Г *' ' ?=1,...,Р,
Ьи — оценки коэффициентов регрессии, иногда они называются коэффициентами значений факторов. Напомним, что Ъц является функцией коэффициентов корреляции исходных переменных друг с другом и их корреляций с общими факторами (см. замечание 5.7.4). Как правило, программы факторного анализа дают возможность получить значения факторов и их коэффициенты для всех элементов выборки.
Замечание 5.7.4. * Коэффициенты Ьц могут быть получены следующим образом. Положим = (рх1, Ьр1)', Ц = (/1;-,
1р1)' и пусть Я—выборочная корреляционная матрица. Тогда Ь> = Я"1!/. Более подробно см. Нагтап (1967). *
Пример 5.7.2. Факторный анализ данных, собранных в основном у здоровых служащих (п — 388), применялся для изучения взаимосвязи показателей функции легких, определенных с помощью кривых «поток—объем» и азотного анализа одного вдоха — выдоха. Использовались следующие переменные: форсированная жизненная емкость легких (РУС), максимальная вентиляция легких (Ушах), вентиляция на уровне 50 % РУС (У50), вентиляция на уровне 25 % РУС (У?5), отношение остаточной емкости к полной емкости легких (СС/ТЬС) и отношение остаточного объема к жизненной емкости легких (СУ/УС). Подробности изучения этой популяции, а также методы сбора данных представлены в работе Агеп е/ а/. (1978).
5.7. Факторный анализ
379
В прилагаемой таблице приводятся результаты факторного анализа данных, собранных у служащих мужского пола. Переменные, объединяемые фактором (для которых нагрузки больше 0,5), подчеркнуты. Первый фактор оказался сильнее
всего коррелированным с РЕУЬ РУС, Ушах, У26. второй фактор — с СС/ТЬС и с СУ/УС. Эти два фактора объясняют 75 % дисперсии. Для женщин были получены аналогичные результаты.
Переменная Фактор I Фактор Л
FEV, 0.94 -0.30
FVC 0.72 -0.24
V max 0.53 -0.08
0.71 -0.35
0.66 -0.40
CC/TLC -0.28 0.84
CV/VC -0.25 0.88
Согласно проведенному анализу, для каждого индивидуума было определено два значения факторов. Первым из них (значение фактора «поток—объем») было среднее стандартизованных значений FEVb FVC, Vmax, V50, Vi5, вторым (значение фактора «остаточный объем») — среднее стандартизованных значений СС/ТСС и CV/VC.
Стандартизация каждой переменной была проведена с использованием Т-преобразования. Этот метод позволяет преобразовывать переменные с сильно асимметричным или мультимодальным распределением к нормально распределенным переменным.
Метод Т-преобразования состоит в следующем. Для заданной переменной, например FEVi, объекты ранжируются от 1 до п (объем выборки) согласно величине значений FEV!. Для совпадающих значений берется усредненный ранг. Таким образом, каждый ранг превращается в накопленную долю числа п. Преобразованное значение FEVi, так называемое Т-значение, определяется по формуле
(Т-значение),- = 10 х Ф1 (Ft'n) + 50, i=l,...,n,
где Fi/n — накопленная доля, соответствующая i-му рангу, а Ф 1 — функция, обратная к функции распределения N (0, 1). Т-значения имеют нормальное распределение со средним 50 и стандартным отклонением 10. Для измерений каждого признака были найдены соответствующие Т-значения. Такая процедура нахождения значений факторов представляет собой альтернативу регрессионного метода (5.7.28).
380
Гл. 5. Методы многомерного статистического анализа
5.8. Многомерный дисперсионный анализ
Пусть для каждого из п объектов измеряются р переменных. Обозначим их следующим образом:
ЯнЪивиЬщи
Переменная 1 2 п
1
Р у» у* ¦¦ t
Пусть вектор Y?x = (Ylt, .... Yln)' соответствует п независимым измерениям i-й переменной, i = [,..., р. Для каждого такого вектора Yj можно рассмотреть одномерную линейную модель.
Е (Y,) = X'?,., cov(Y,)=o«I. (5.8.1)
Здесь (X')"xm — матрица плана ранга r< т <-п, аи — дисперсия 1-Й перемеННОЙ И ?fX1 = (?u, ...Jim)' — ВеКТОр ИЗ Ш Нв-
известных параметров, специфичных для каждой переменной. Далее, р линейных моделей, задаваемых формулами (5.8.1), взятые вместе, составляют многомерную обобщенную линейную модель. Заметим, что матрица плана одинакова для всех переменных, а векторы ?; могут быть различны. Зависимость "переменных выражается формулой
cov(Y(, Y/) = a//I, i, /=1,...,р, (5.8.2)
где atj — ковариация между i-й и /-й переменными. И наконец, предполагается, что р <¦ п — г и т <п.
Модель, задаваемую соотношениями (5.8.1) и (5.8.2), можно представить в виде
Y = X'? + e, (5.8.3)
где
" г„
Y»»x р_ У}2 Угг
5.8. Многомерный дисперсионный анализ
381
— матрица значений откликов,'(Х')"Хт— матрица плана ранга г и
г*» ?zi ¦ • 0,11
?tnxp _ ?xz ?zz ¦
.?lm ?lm ' " ?pm_
— матрица неизвестных параметров. И наконец, е"хр — матрица, строки которой составляют случайную выборку размера п из невырожденного р-мерного распределения N (О, 2), где 2рхр — ковариационная матрица, а 0рх1 — нулевой вектор. Уравнение (5.8.3) является формальной записью многомерной обобщенной линейной модели.
