Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 5.7.1Ь. В данном случае, согласно замечанию 5.7.2.1, выбираются общие факторы, соответствующие собственным значениям, большим либо равным единице. Из анализа собственных значений, приведенных в примере 5.7.1 а, видно, что т = 5. Первые три фактора, такие же, как и в предыдущем примере. Нагрузки 4-го и 5-го факторов приводятся в табл. В. Если взять в качестве порога г = 0.4, то 4-й фактор будет зависеть главным
Таблица В Нагрузки для факторов 4—5
Переменная 4 5
1 вР 0.15 -0.09
2 МАР 0.14 -0.09
3 НК, 0.48® 0.33
4 ЭР 0.13 -0.07
5 МУР 0.71 ф -0.03
б ЦС1) -0.06 0.34
7 ЦАТ) -0.12 -0.20
8 Ь(МСТ) 0.05 -0.21
9 ио -0.59 © -0.22
10 ЦРУ!) -0.07 0.31
11 Ь(К,С1) -0.23 0.69 ф
12 Н8Ь -0.09 0.26
13 н« -0.08 0.26
370
Гл. 5. Методы многомерного статистического анализа
образом от частоты сердечных сокращений, венозного давления и диуреза, а 5-й фактор — от эритроцитарного индекса. За исключением пятого фактора все еще трудно интерпретировать полученные результаты.
Оценки общностей для двух случаев, приведенных выше, содержатся в табл. С. Заметим, что при т = 3 переменные 5,
Таблица С
Оценки общностей
Пер 'еменная ет = 3 т=5
1 БР 0.87 0.90
2 МАР 0.95 0.97
3 на 0.37 0.71
4 ИР 0.91 0.93
5 МУР 0.17 0.67
6 Ь(С1) 0.62 0.74
7 1ДАТ) 0.76 0.81
8 ЦМСТ) 0.81 0.86
9 ио 0.15 0.55
10 Ь(РУ1) 0.66 0.76
11 Ь(ЯС1) 0.27 0.80
12 Н8Ь 0.79 0.87
13 на 0.80 0.87
9 и 11 имеют общности меньше 0.3, тогда как при т = 5 все общности больше 0.5. Этот факт подтверждает, что 1) общности (дисперсии, объясняемые общими факторами) увеличиваются с ростом т и 2) влияние общих факторов на разные исходные переменные различно.
Пример 5.7.1с. В этом примере демонстрируется эффект изменения диагональных элементов выборочной корреляционной матрицы. Диагональный элемент с номером I заменялся на квадрат множественного коэффициента корреляции Х( с остальными переменными. Число итераций было взято равным единице, а число общих факторов т = 3. В силу того что матрица К была изменена, собственные значения, накопленные доли дисперсии и факторные нагрузки получились отличными от двух предыдущих случаев. В табл. В приводятся факторные нагрузки с соответствующими квадратами множественных коэффициентов корреляции и оценками общностей. При том же пороговом значении г=0.4 первый фактор взвешивается преимущественно по тем же восьми переменным, что и в предыдущих примерах; второй фактор содержит артериальное давление и кровоток; третий фактор сильнее всего коррелирован с кровотоком. Два первых фактора получились по-
5.7. Факторный анализ
371
Таблица Б
Общие результаты
Фактор
-Множественный Оценки
Переменная 12 3 Я2 общностей
1 БР 0.24 0.85© 0.23 0.85 0.84
2 МАР 0.37 0.89 ф. 0.17 0.96 0.98
3 НЯ 0.03 -0.06 -0.23 0.22 0.06
4 ОР 0.49(7) 0.81 ® 0.10 0.94 0.92
5 МУР -0.06 -0.13 0.20 0.28 0.06
6 Ь(С1) -0.64® 0.32 -.0.08 0.63 0.53
7 Ь(АТ) 0.58© -0.45© 0.48(1) 0.81 0.78
8 Ь(МСТ) 0.68 (3) -0.50® 0.40© 0.86 0.89
9 ио -0.09 0.23 -0.08 0.18 0.07
10 1ДРУ1) -0.55® 0.00 0.22 0.50 0.36
11 1.(1*01) 0.43® 0.00 -0.02 0.26 0.11
12 0.88© -0.05 -0.36 0.96 0.93
13 На 0.89© -0.06 -0.35 0.96 0.93
хожими на соответствующие факторы из рассмотренных ранее случаев, для третьего фактора это неверно. Оценки общностей в целом меньше, чем при использовании просто корреляционной матрицы.
5.7.2. Вращения факторов
Следующим шагом после определения факторных нагрузок является интерпретация каждого фактора. Для этого можно воспользоваться неоднозначностью определения факторов. Полученные факторы ^1^', можно заменить их линейными комбина-
циями /-\, ^т, которые взаимно некоррелированны и имеют единичные дисперсии. Таким образом, имеется бесконечное множество наборов факторов, удовлетворяющих данной модели. Процедура получения нового набора факторов называется ортогональным вращением факторов. После вращения модель может быть записана в виде
т
Хг- I ^Г+г, *" — 1.....Р. (5-7.19)
/=1
где постоянные с,1 равны нагрузкам новых факторов. Следует заметить, что в результате ортогонального вращения факторов общность каждой исходной переменной X; остается без изменения, т. е.
т т
14—Мл Р- (5-7-20)
372
Гл. 5. Методы многомерного статистического анализа
Постоянные
т
6=1
Г) кнЯкі, і. = 1,.. ., р,
1
1,
,т,
(5.7.21)
где <7А/ — постоянные, & = 1, т,Щ / = 1, т. Для облегчения интерпретации факторов эти ^постоянные выбираются так, чтобы результирующие нагрузки имели простую структуру. Грубо говоря, структура факторных нагрузок считается простой, когда большинство из си не слишком сильно отличается от нуля и лишь некоторые из них имеют относительно большие значения. Целью процедуры вращения является представление каждой исходной переменной одним или небольшим числом факторов. Нагрузки остальных факторов близки к нулю (ТЬиЫопе (1945)). Задача интерпретации факторов значительно облегчается получением простой структуры (напомним, что, согласно замечанию 5.7.2.4, каждая нагрузка равна коэффициенту корреляции между исходной переменной и соответствующим фактором).
