Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
Первой задачей факторного анализа является определение по матрице в или Я оценок /у/ факторных нагрузок А,7 и оценок 1[
364
Гл. 5. Методы многомерного статистического анализа
специфических дисперсий %i, i = 1, р, j = 1, т. Следует заметить, что, как правило, предпочтение отдается матрице R, поскольку исследователи преимущественно работают со стандартизованными переменными (см. замечание 5.6.1.3).
Казалось бы, что для определения упомянутых оценок теоретически оправданно применение метода наибольшего правдоподобия. Однако этот метод сложен для реализации на ЭВМ и поэтому он не получил широкого распространения. Существует ряд методов, применимых на настольных калькуляторах, самый известный из которых — центроидный метод. Кроме того, имеется групповой центроидный метод, множественный групповой метод, метод сокращения ранга, метод ортогонализации, методы типа метода Якоби, методы сокращения порядка. Их описание можно найти в работе Horst (1965).
С появлением ЭВМ чаще всего стал использоваться метод определения главных факторов, который применим как к выборочным ковариационным, так и корреляционным матрицам-. В этом методе прежде всего определяются оценки р главных компонент
У* =13 а А (5.7.10)
Напомним, что р главных компонент взаимно некоррелированны и дисперсия V (Yi) г'-й компоненты равна г'-му по величине собственному значению выборочной ковариационной или корреляционной матрицы с соответствующим собственным вектором а,- = = (ап, aip)', i = 1, р. Имеет место следующая система уравнений относительно исходных переменных:
Xt=f-ailY„ ? = 1.....р. (5.7.11)
Согласно методу определения главных факторов, в качестве общих факторов берется т первых главных компонент, взвешенных следующим образом:
F: =-^Ц^, / = 1,...,т. (5.7.12)
Оценками факторных нагрузок служат величины
/i7 = ay7[K(^)]1/2, i=l,...,p, / = 1,...,т, (5.7.13)
а оценки специфических факторов задаются равенствами
ег= I aHYj, i =\,...,р. (5.7.14)
S.7. Факторный анализ
365
Таким образом, получается следующая оценка факторной модели:
т
Xt=YUiFj + ei, i=l,...,p. (5.7.15)
/=1
Здесь все общие факторы имеют единичные дисперсии и взаимно не коррелированы. Кроме того, они не коррелированы и со специфическими факторами. Однако следует заметить, что
cov (eh ek) = У atiajkV (Y,), i,k=l,...,p, 1фк. (5.7.16)
/=m+l
Поскольку ковариации специфических признаков необязательно равны нулю, имеет место нарушение первоначальных предположений модели.
Оценки общностей h\ и специфичности tt для ХИ 1 = 1,... ..... р, имеют соответственно вид
т т
«?== = l^V(Yj), (5.7.17)
/=1 /=1
U= ? ajtV(Yj)- (5.7.18)
/=т+1
Для решения этой задачи существуют специальные программы. В качестве исходной информации используется 1) число общих факторов, 2) вид матрицы, к которой следует применить факторный анализ, 3) оценки общностей и максимальное число итераций для определения общностей. Другие возможности задания входных параметров рассматриваются в следующем разделе. Ниже описываются некоторые подробности использования входной информации.
1) Число общих факторов определяется целым числом т или постоянной с. В последнем случае т полагается равным числу собственных значений, превосходящих с.
2) Факторный анализ можно применять к а) ковариационной матрице, Ь) ковариационной матрице относительно начала координат, с) корреляционной матрице, а) корреляционной матрице относительно начала координат или е) матрице факторных нагрузок.
3) Напомним, что в анализе главных компонент сохраняется дисперсия, содержащаяся в общих факторах (главных компонентах). В факторном анализе часто требуется получить оценки об-
р
щих факторов, сохраняющие общность S Щ, или всю дисперсию
«=1
общих факторов. Это нужно, например, для приложений в психологии и в задачах, связанных с определением культурного уровня. Поэтому пользователь может определить начальные оценки общностей всех исходныхпеременных и максимально донустимое
366
Гл. 5. Методы многомерного статистического анализа
число итераций, обеспечивающее сходимость к суммарной общности. Эти оценки подставляются вместо диагональных элементов матрицы, подлежащей факторному анализу. Ими могут быть а) квадраты множественных коэффициентов корреляции при использовании корреляционной матрицы, или дисперсии, полученные в результате регрессии для ковариационной матрицы, Ь) наибольшие абсолютные значения элементов по строкам, с) оценки, полученные из предварительного анализа. Получение оценок факторных нагрузок и новых общностей составляет шаг итерации. На следующем шаге диагональные элементы матрицы, подлежащей факторному анализу, заменяются на полученные общности. Затем заново определяются факторные нагрузки и общности. Процесс повторяется, пока не будет превышено максимально допустимое число итераций, или пока максимальная разность общностей, полученных на соседних шагах итерации, не станет меньше заданного числа. Пользователь может оставить диагональные элементы без изменений и задать только допустимое число итераций, обеспечивающее .сходимость к суммарной общности.
