Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
У= = І У(Уд- (5.7.2)
/=1 1=1
5.7. Факторный анализ
361
Преобразуем теперь систему (5.7.1) так, чтобы каждая из исходных переменных была выражена линейной комбинацией главных компонент:
*х= Е Рх/У/. ...,*,= Е рру^, (5.7.3а)
/=1 /=1
гдер\; — некоторые постоянные, г, / = 1, .... р. Можно показать, что р\7 = аи для I, ) = 1, р и
*х = Е «лК/, ... , ^р = Е се/Л'- (5'7-ЗЬ)
Из этой системы, называемой моделью главных компонент, следует, что
ои - Е (П) »(5-7.4)
/г==1
I,/=1,...,р. (5.7.5)
Эти две формулы определяют новую структуру или «факторизацию» дисперсий и ковариаций исходных переменных. Таким образом, дисперсии и ковариаций представляются в виде функций от щ-1 и дисперсий главных компонент.
В настоящем разделе рассматривается более общий подход к преобразованиям исходных переменных. Для этого вводится факторная модель
т т
*1 = Е КА + *!,..., Хр = Е V/ + е„ (5.7.6)
/=1 . 1=1
где %ц — постоянные, а т, как правило, меньше р. Переменные Т7!, Т7™ называются общими (первичными, или латентными) факторами, поскольку они используются для представления всех р исходных переменных. Предполагается, что общие факторы не коррелированы и имеют единичные дисперсии. Переменные е{, ер называются специфическими (характерными) факторами, поскольку для каждой исходной переменной Хг определяется своя переменная еь I = 1, р. Предполагается, что характерные факторы не коррелированы и что
У(е[) = х„ 1 = 1, ...,р, (5.7.7)
где т,- — так называемая специфическая дисперсия, или специфичность /-Й исходной переменной. Переменные Т7,- и еу- предполагаются некоррелированными, I = 1, т, / = 1, р. Постоянные ^у называются факторными нагрузками.
362
Гл. 5. Методы многомерного статистического анализа
Теперь можно записать факторизацию дисперсий и ковариаций исходных переменных в виде
о>; = + • • • + Kn^im, i Ф U (5.7.8)
^-Я2,+•••+Я2т + т„ /, /= 1,...,р. (5.7.9)
Эти формулы — аналоги соотношений (5.7.4) и (5.7.5.). Величина
т
S называется общностью t'-й исходной переменной и равна
разности ее вариации и специфичности, i = 1, р.
Таким образом, р компонент модели главных компонент можно рассматривать как р общих факторов, описывающих структуру зависимости р исходных переменных, в то время как т <р общих факторов факторной модели описывают основную часть структуры зависимости, а специфические факторы — оставшуюся часть. Другими словами, в модели главных компонент вся дисперсия приписывается р общим факторам, тогда как в факторном анализе дисперсия каждой исходной переменной делится на две части: дисперсию, обусловленную наличием общих факторов (общность), и дисперсию, обусловленную вариацией каждой исходной переменной (специфичность).
Техника факторного анализа направлена на оценку факторных нагрузок %и и специфических дисперсий т,, i = 1, р, j = = 1, т, а также на определение для каждого объекта значений общих факторов с помощью значений исходных переменных, т. е. на вычисление так называемых факторных значений. После того как факторные нагрузки найдены, остается еще задача «наилучшей» интерпретации общих факторов. Для этого используется метод вращения факторов, который из-за субъективности является наиболее спорной частью факторного анализа.
В силу того что факторный анализ уже выделился в особую науку, данный раздел не может претендовать на его всестороннее рассмотрение, которое можно найти в работах Нагтап (1967) и Thurstone (1945). В разд. 5.7.1 рассматривается метод главных факторов для определения факторных нагрузок. Он часто используется в программах, несмотря на то что применение метода наибольшего правдоподобия может показаться более оправданным. Подробный анализ метода наибольшего правдоподобия приводится в работе Morrison (1967). В разд. 5.7.2 рассматриваются некоторые способы вращения факторов, а разд. 5.7.3 посвящен оценке значений факторов.
Замечание 5.7.1. -к Модели, задаваемые выражениями (5.7.3) и (5.7.6), можно компактно записать в матричных обозначениях. Главные компоненты являются решениями уравнения
У = АХ,
5.7. Факторный анализ
363
где
-\рХ1=(Хи...,?„)', Хрх1 =(Хг,...,ХР)', АрХр--,(а17). Таким образом, модель главных компонент записывается в виде
X = ВУ,
где Врхр = А"1 = А', поскольку матрица А ортогональна. Ковариационную матрицу представим как
2 = А'УА,
где
У1>х1> =
К(У.) о О К(У2)
о
о
о о
Факторная модель принимает вид
X = АР 4- е,
где
АРХт = (Я(7), РтХ1 = (^,....,^т)' и е"*1 =(*,,...,*„)'. Тогда ковариационную матрицу запишем в форме
2 = АЛ'+Т,
где
1'*' =
т, О О т2
6 6
5.7.1. Определение главных факторов
В отличие от предыдущего раздела, где задача сначала рассматривалась в терминах параметров популяций и только потом вводились выборочные оценки, в этом разделе сразу предполагается наличие случайной выборки хрх1, х?х1 из многомерного нормального распределения с вектором средних црх1 = (щ, ...
ц.Е)' и ковариационной матрицей 2рХр = (ац)- Пусть 8рХр = = (б^) — выборочная ковариационная матрица и ЯрХр = (ги) — выборочная корреляционная матрица, где г,у = я,-//^,-,^)1/2, I, ) = 1, р.
