Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
318
Гл. 5. Методы многомерного статистического анализа
оператора САЬЬ йМРИО (С, А, Е, 1, 1Р, 1) параметр Е принимает значение произведения СА; тогда %2 = пЕ.
Пример 5.1.2 (продолжение). В примере 5.1.2 были исправлены две ошибки так, что вектор х; стал равен (93, 54)', а вектор х9 = = (132, 94)'. Полагая, что стандартные отклонения ах = 20, а2 = 15 и что коэффициент корреляции р равен 0.8, имеем
400 240"
.240 225.
Проверяется гипотеза о том, что указанные 15 пациентов принадлежат к популяции здоровых лиц со средним систолическим и диа-столическим давлениями соответственно 120 и 80. Таким образом, Я0: щ = (120, 80)' и Ях: |ч Ф (120, 80)'. Для имеющихся данных было найдено х = (120.6, 79.7)'. Используя обозначения замечания 5.2.1, запишем
,"400"
0.6" — 0.3
и В =
240 240 225
Отсюда %2 — 0.006 и величина статистики критерия незначима.
5,2,2, Проверка гипотез о векторах средних (ковариационная матрица неизвестна)
В большинстве практических задач дисперсии и ковариации не» известны и должны быть оценены по выборке. В одномерном случае, в обозначениях разд. 5.2.1 проверяется гипотеза Я0: (х = (х0
против Ях: (х Ф (х0 с использованием статистики ( = ]Аг (у — Цо)/$, где я—выборочное стандартное отклонение. Гипотеза Я0 отвергается при \Ц> *1-(а/2) (я—!)• В многомерном случае вычисляется несмещенная оценка в матрицы Б по формуле
2
1
11 — 11=1
Ар
1Л1
(5.2.2)
Элемент б2 можно обозначить как 5гг. Тогда статистика Т2 Хопгел-линга (НойеШгц! (1931)) задается формулой
Г« = п(х-»10)'8^(х-щ)). (5.2.3)
Если гипотеза Я0 верна, то величина
р(п - 1)
(5.2.4)
5.2. Проверка гипотез о векторах средних
319
имеет Р-распределение с р и п — р степенями свободы; Р-значе-нием является площадь справа от Ё под кривой плотности распределения Р (р, п — р).
Замечания 5.2.2. 1. Программа для вычисления выражения %2 (5.2.1) применима и для вычисления выражения Т2 (5.2.3). Для этого надо величину В из замечания 5.2.1 положить равной 6. Тогда для вычисления Р остается величину Г2, получающуюся в результате работы программы, умножить на постоянную (л — р)1р (п — 1).
2. Кроме проверки гипотез о средних, могут быть построены многомерные аналоги доверительных интервалов для линейных комбинаций компонент вектора \и. Для заданного набора констант аъ р
для
ар многомерный аналог доверительного интервала
2 имеет вид
р
1=\
Рі-* (Р, П - р) 2 2 ^4°' I
і=1 і=1 1
11/2
Общий уровень значимости равен 1 — а для любых наборов аъ ... • ••>
Так, например, многомерный аналог доверительного интервала для 1-я компоненты цг вектора ц имеет вид
1 = \.
Таким образом, можно получить доверительный интервал, использующий многомерную структуру данных, аналогичный тому, который мы получали с помощью ^-распределения Стьюдента. Как и в дисперсионном анализе, доверительный интервал расширяется для получения общего уровня значимости 1 — а.
Пример 5.1.2 (продолжение). Выборочная ковариационная матрица имеет вид
"438.26 343.02-
343.02 291.38
Для проверки имеем
гипотезы Я0: ц = (120, 80)' из формулы (5.2.3)
Т2 = 15 [0.6-0.3]
0.02902 — 0.03417 0.03417 0.04365
0.6
— 0.3
0.400.
Поэтому из (5.2.4) следует, что
15-2
Р =
2(15- 1), Эта величина также незначима
(0.400) = 0.186.
32O
Гл. 5. Методы многомерного статистического анализа
Предположим теперь, что проверяется гипотеза о том, что рассматриваемые 15 пациентов принадлежат популяции гипотоников с систолическим и диастолическим давлениями 90 и 60 соответственно. Тогда Я0: ц = (90, 60)' и Нг: ц Ф (90, 60)'. В этом случае Т2 = 43.76 и F = 20.32. Поскольку р < 0.005, гипотеза #о отвергается.
Пользуясь замечанием 5.2.2.2, можно построить 95 %-ные доверительные интервалы для цъ (х2 и р.! — 2(х2. Таким образом, с вероятностью 95 % и-х попадает в интервал
-jjt^- (3.81) (438.26)]1/2 = (105.1, 136.1),
120.6
(х2 — в интервал
79.7 ± [ щщ (3-81) (291.38)]1/2 = (67.1, 92.3),
а величина u-x — 2(х2 — в интервал 120.6 — 2 (79.7) ±
± [-j^-(3.81) {438.26 -2(2)(343.02) + 4(291.38)}]1/2
(—50.1, —27.5).
5.2.3. Проверка гипотез о равенстве двух векторов средних (ковариационная матрица неизвестна)
Пусть Уи I = 1, 2, — случайная одномерная величина, распределенная по закону N (р,,-, о2), а уа, ущ— случайная выборка из этого распределения. Для проверки гипотезы Я0: р-х = = (х2 против гипотезы Ях: рх Ф (х2 при неизвестной дисперсии о2 можно использовать статистику
t = (Уl~ У2)/У81 ("Г1+"2_1)>
где у, есть г'-е выборочное среднее, I = 1, 2 и э2, — общая дисперсия. Гипотеза Я0 отвергается, если |*|> к-{а/2) (% + п2 — 2) для некоторого выбранного заранее а. Многомерным аналогом этой двухвыборочной ^-статистики Стьюдента является двухвыборочная Т2-статисшика Хотеллинга. Предположим, что случайный вектор Хг имеет распределение N (щг, Б), I = 1, 2. Пусть хп,
\{„ — случайная выборка из 1-го распределения. Матрица 2 оценивается объединенной выборочной ковариационной матрицей 8:
в= П1 + 1 _2 [("1-1)^ + ("2-1)521, (5.2.5)
5.2. Проверка гипотез о векторах средних
321
где 8; — стандартная оценка ковариационной матрицы по /-и выборке. Тогда двухвыборочная Т2-статистика имеет вид
