Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
(1) Используя двухфакторный дисперсионный анализ, проверьте гипотезу об отсутствии эффекта группы измерений или разницы между исследователями. Для этого усредните результаты измерений в одной группе. Вычислите компоненту дисперсии, определяемую исследователями.
е) Проанализируйте всю совокупность исходных данных, используя расщепленный план.
^ Сравните и объясните результаты, полученные при разных методах анализа.
5
Методы многомерного статистического анализа
Во второй и четвертой главах рассматривались преимущественно методы статистического анализа одной случайной величины. Однако каждый объект в выборке может содержать наблюдения более чем над одной переменной (см. гл. 3). Такая ситуация возникает, например, в задачах множественной регрессии, когда все переменные считаются случайными. Это можно рассматривать как первый пример применения многомерного статистического метода. В регрессионном анализе изучается главным образом взаимоотношение между зависимой переменной, с одной стороны, и набором независимых переменных — с другой. Однако в других многомерных статистических методах все случайные переменные анализируются одновременно, как один случайный вектор, имеющий многомерное распределение. Как будет показано, некоторые многомерные методы (например, проверка гипотез о средних) являются обобщением соответствующих одномерных методов, тогда как другие (например, отнесение случайного вектора к одной из популяций) не имеют аналогов в одномерном анализе.
В прошлом статистический анализ более чем одной переменной сводили к рассмотрению каждой переменной в отдельности. Такой подход обладает ограниченными возможностями, поскольку выводы относительно совокупности переменных, как правило, не могут быть получены из выводов относительно каждой переменной в отдельности. Возможность получать такие общие выводы дает многомерный анализ. Следует заметить, что большинство многомерных статистик вычисляется сложнее, чем их одномерные аналоги. В связи с этим некоторые виды анализа невозможны без использования ЭВМ.
В большинстве методов многомерного анализа предполагается, что случайный вектор имеет многомерное нормальное распределение. Как и в одномерном случае, обоснования для этого следующие: а) многие наблюдаемые явления приблизительно описываются многомерным нормальным распределением; Ь) преобразования некоторых или всех компонент случайного вектора иногда приво-
314
Гл. 5. Методы многомерного статистического анализа
дят к многомерному нормальному распределению; с) центральная предельная теорема для одной случайной величины распространяется на многомерный случай, т. е. последовательность сумм независимых одинаково распределенных случайных векторов сходится к многомерному нормальному распределению (Anderson 1958, теорема 4.2.3).
В этой главе в разд. 5.1 рассматриваются методы определения аномальных наблюдений или выбросов; в разд. 5.2 приводится статистика Хотеллинга Т2 для проверки гипотез о векторе средних и о равенстве двух векторов средних; разд. 5.3 является введением в задачу отнесения наблюдаемого вектора к одной из двух многомерных популяций; обобщение этой задачи на случай k популяций, k 5г 2, приводится в разд. 5.4; пошаговая процедура классификации описывается в разд. 5.5. В разд. 5.6 рассматривается анализ главных компонент, в разд. 5.7 — факторный анализ. И наконец, в разд. 5.8 представлены некоторые аспекты многомерного дисперсионного анализа. Перед изучением этой главы читателю следует ознакомиться с разд. 1.6.
5.1. Анализ выбросов
Если одномерная случайная величина У распределена по закону N (р., а2), то случайная величина (У — ц)2/а2 имеет распределение %2 (1). В многомерном случае можно показать, что если случайный вектор Хер компонентами имеет многомерное нормальное распределение с вектором средних ц1рх1 и матрицей ковариа-ций Ерхр, то величина
х2 = (х-)Л)'2-1(х-|Л) (6.1.1)
имеет распределение %2 (р)х). Если ц и Б известны, то эта статистика может быть использована для проверки возможной аномальности наблюдаемого вектора х, т. е. наличия выбросов у его компонент. Здесь Р-значением является площадь области, расположенной под кривой функции плотности распределения справа от вычисленного значения %2. Если Р меньше выбранного заранее уровня значимости а, то наблюдаемый вектор х можно считать аномальным и его координаты должны быть проверены на наличие ошибок. Таким образом, можно проверить все векторы из случайной выборки.
Пример 5.1.1. Мониторная система ведения больных, находящихся в критическом состоянии, предполагает ежеминутное измерение систолического и диастолического давлений, средних ар-
1) Здесь предполагается, что матрица 2 — невырожденная. — Прим. ред.
5.1. Анализ выбросов
315
териального и венозного давлений, частоты дыхания, частоты сердечных сокращений и ректальной температуры. Для каждого вектора наблюдений вычисляются статистика %2 по формуле (5.1.1) и соответствующее Р-значение. Параметры р и 21 известны из наблюдений над здоровыми людьми. Для каждого вектора наблюдений считается, что при Р > 0.2 состояние больного находится в пределах нормы; если 0.05 < Р <; 0.2, то имеются небольшие отклонения от нормы; если 0.01 < Р <з 0.05, то зажигается световой сигнал тревоги, и при Р <з 0.01 включается сирена. Это помогает лечащему врачу и персоналу клиники определять изменения в состоянии больного или предупреждает о возможных неисправностях в оборудовании системы. Более подробно об этой процедуре см. АПН еЬ а/. (1971а).
