Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
Наконец, мы можем проверить гипотезу Я0: Р = 0, утверждающую, что внутригрупповой коэффициент корреляции равен нулю. Для этого мы сравним средний квадрат, обусловленный регрессией,
304
Гл. 4. Дисперсионный анализ
со средним квадратом отклонений от регрессии. Соответствующее Р-отношение
Р-3^ ^ (4-6Л7)
имеет Р-распределение с числами степеней свободы 1 и vE — 1. Я-значение равно площади справа от точки Р под кривой плотности распределения Р(1, vE—1).
Типичные программы ковариационного анализа, входящие в ПСП, выдают на печать табл. 4.6.2 или ее часть, а также вычисляют и печатают четыре Р-отношения.
Пример 4.6.Л (продолжение). Проверим гипотезу о равенстве средних первоначальных измерений для всех четырех групп, т. е. Но'- Ра —' • • — й*4- Для этого вычислим Р-отношение Р м„/ум _ 19.8/3 _ п 07
~~ ?„/уе 3171/36 ~"
Поскольку Р0.95 (3, 36) = 2.9, мы примем гипотезу Я0 на уровне а = 0.05 и будем считать, что распределение испытуемых по тренировочным группам является случайным, что, конечно, желательно. Для проверки гипотезы о равенстве средних повторных измерений, для всех групп, т. е. Я0: \ху1 ц^4, вычислим
р Муу/ум _ 1939/3 ^ о о4 E!W/vE 2630/36 "
Это значит, что гипотеза отклоняется с-Р <С 0.001.
Интереснее всего проверить гипотезу о равенстве скорректированных средних (в других обозначениях Я0: «!=•¦•= а4 = 0).
Результаты вычислений приведены в следующей таблице:
Источник квад*-3 Определяемая Отклонение от регрессии
дисперсии ратов регрессией
ст. св. ст. св. ее ст. св. ее МБ
36 2630.21 1 1309.61 35 1320.60 37.731
39 4569.90 1 1388.07 38 3181.83
3 1861.23 620.410
Внутри уровней
(остаточная) Полная
Разность для проверки различий между скоррек-
[ тированными средними
Р-отношение равно Р = М5М/М5Е = 16.44. Заметим, что /'-значение намного меньше, чем Р для гипотезы Я„: цу1 = : ¦ • = р^4.
4.6. Ковариационный анализ
305
Наконец, для проверки гипотезы #0: Р = 0 вычислим
Р_ ЕУЕхх 1309.61 ол 71 *---шг~- 37.73 -d4-n-
Этот результат также значим с Р < 0.001.
Замечания 4.6.1. 1. Обобщением модели однофакторного ковариационного анализа служит однофакторная модель со многими сопутствующими переменными. Эта модель описывается соотношениями
У и = У- + Щ + Р(*// - *..) + У faj — 2.) Л-----Ь
/ = 1, .. ., Jt, i = 1, ..., /.
Здесь xtj, ги, ... суть значения сопутствующих переменных, каждая из которых линейно связана с ytj. В результате анализа оцениваются параметры: р, все коэффициенты р\ у, а также дифференциальные эффекты аг. Это позволяет проверить гипотезу о равенстве дифференциальных эффектов.
2. Дальнейшим обобщением модели однофакторного корреляционного анализа является многофакторная модель со многими сопутствующими переменными. Например, модель
Ун = И + + Р/ + У (хи - х.) + еи
описывает ситуацию с двумя факторами и одной сопутствующей переменной, линейно связанной с уц. Детальное описание /п-фак-торной модели с несколькими сопутствующими переменными приводится у Sheffe (1958). См. также различные статьи журнала Biometrics, 13 (1957).
3. Рассмотренная в этом разделе модель содержала предположение о равенстве внутригруппового коэффициента Р для всех i уровней фактора. Можно отказаться от этого ограничения и считать, что значения р могут быть различными в различных группах. В такой более общей модели можно проверить гипотезу о равенстве значений р, а затем провести весь описанный анализ (Brownlee, (1965, гл. 11)).
Информация, выдаваемая некоторыми программами из ПСП, отличается от стандартной таблицы ковариационного анализа. Например, программа BMDP1V выдает таблицу (табл. 4.6.3). Величины MSM и MSE совпадают с входящими в табл. 4.6.2, причем vE — 1=1 —1 и vM = vT — Vp = n — 7—1. Величина MSZ = Е%у/Ехх та же, что в равенстве (4.6.17) и табл. 4.6.1. Сумма квадратов ошибок и соответствующее число степеней свободы (ошибка (1)) разбиваются на две компоненты для проверки гипотезы о равенстве наклонов: связанную с разницей в угловых коэффициентах и остаточную ошибку (см. замечание 4.6.1.3).
зов
Гл. 4. Дисперсионный анализ
Таблица 4.6.3
Выдача программы ВЛШР1У
Источник дисперсии
Число степеней свободы
Равенство скорректирован
/— 1
ных средних Нулевой наклон Ошибка (1) Равенство наклонов Ошибка (2)
л — /— 1 /—1 п — 21
М52
Для правильного использования этих выходных данных нужно поступить следующим образом. Сначала проверить гипотезу о равенстве угловых коэффициентов Н0: 6Х = • • •= 6/ = 6. Для этого следует воспользоваться статистикой F = М5В/М5К, подчиняющейся F-pacпpeдeлeнию с числом'степеней свободы / — 1 и п — 21. Если гипотеза Н0 о равенстве наклонов отклоняется, то внутри-групповые коэффициенты Рх, Р/ нельзя считать одинаковыми для всех уровней фактора. Это значит, что гипотеза о единой связи между х и у, содержащаяся в модели дисперсионного анализа, не выполнена. В этом случае лучше отказаться от обработки остальной информации.
Если же гипотеза Н0 принимается, то суммы квадратов и числа степеней свободы для компонент «равенство наклонов» и «ошибка (2)» можно объединить. Это дает компоненту «ошибка (1)». Следующий шаг состоит в проверке гипотезы о том, что единый вну-тригрупповой угловой коэффициент Р равен нулю, Н0: Р = 0. Эта гипотеза эквивалентна проверке независимости сопутствующее переменной X и зависимой переменной У. Если эта гипотеза о независимости принимается, то теоретически нет необходимости «корректировать» значения зависимой переменной У. В этом случае для анализа переменной У подходит обычная модель одно-факторного дисперсионного анализа. С другой стороны, если гипотеза #о отвергается, то использование ковариационного анализа позволяет проверить гипотезу о равенстве скорректированных средних Н0: ах = • • ¦= а1 = 0.
