Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
Результаты однофакторного анализа представлены в табл. В. По этим данным вычислим оценки:
о Ьху 2037.7 пк.о
р = 1^7 = зттот = 0643'
_ М^_ 66169__3 . _ Тху _ 2104.4 _
м~ МХЛ; ~ 19.80 °т " Т^Г ~ 3190.4 - и>ЬЬи'
М5Е = 4- [2630.21 —^^-]= 37.73.
Таблица В
Ковариационный анализ
Суммы квадратов Источник Число и смешанных произведений
дисперсии степеней
свободы хх ХУ УК
Между группами 3 19.80 66.69 1939.69
Внутри групп (оста- 36 3170.60 2037.70 2630.21 ток)
Полная
39
3190 2104.39 4569.90
4.6. Ковариационный анализ
301
Затем найдем оценки скорректированных дифференциальных эффектов для всех уровней. Например, дифференциальный эффект первого метода тренировки с учетом регрессии у по х равен
«1 = (Уь - У.) — Р - *..) =
= (26.8 - 15.5) - 0.643 (17.1 - 16.3) = 10.74
Аналогично, оценки других дифференциальных эффектов с учетом регрессии у по х равны й2 = —3.46, а3 = —7.67, а4 = 0.39. Внутригрупповые линии регрессии описываются уравнениями:
у = 26.8 + 0.643 (х — 17.1) для тренировочной группы 1, у = 11.9 + 0.643 (х — 16.0) для тренировочной группы 2, у = 8.2 + 0.643 (х — 16.8) для тренировочной группы 3, у= 15.3 -р- 0.643 (л: — 15.3) для контрольной группы 4,
линия регрессии средних — уравнением
9 = 15.5+ 3.37 (х - 16.3), линия полной регрессии —
9 = 15.5+ 0.660 (х - 16.3).
Все эти прямые изображены на рис. 4.6.1.
Обсудим теперь проверку гипотез. Во-первых, по таблице ковариационного анализа мы можем проверить гипотезу о равенстве средних значений сопутствующей переменной для всех / подгрупп. Обозначим через \1Х{ среднее значение переменной х для 1-го уровня, [ = 1, /. Рассмотрим гипотезу Я0: цх1 = • • • = рх1. Статистикой критерия служит отношение
<«|3>
подчиняющееся ^-распределению с числом степеней свободы vм и vE. Величины, входящие в равенство (4.6.13), представляют собой суммы квадратов и числа степеней свободы между и внутри уровней из столбца XX табл. 4.6.1. Р-значение равно площади справа от точки Р под кривой плотности распределения Р (ум, vE). Смысл этой гипотезы состоит в проверке случайности распределения исследуемых объектов по / уровням фактора.
Можно также проверить гипотезу о равенстве средних исследуемой величины, вычисленных по / группам. Пусть \аУ1 обозначает среднее значение величины у на 1-м уровне, (== 1, /. Гипотеза Я0: цу1 = ¦ • ¦ = \х.у1 проверяется при помощи статистики
р= Щу/т _ (4614)
302 Гл. 4. Дисперсионный анализ
I Для средн
Группа 1
Группа 4 /(¦контрольная)
^-Группа 2
Группа 3
Рнс. 4.6.1. Оценки линий регрессии для примера 4.6.1.
Величины, через которые выражается Т7, содержатся в столбце УУ табл. 4.6.1. Р-значение равно площади справа от Б под кривой плотности распределения Р vE).
Наиболее интересна гипотеза о равенстве средних значений скорректированной переменной
у* = у-Нх-х..). (4.6.15)
Эту гипотезу можно сформулировать как Н0: ах =• • •= осу = О, где, как и ранее, аг обозначает скорректированный дифференциальный эффект 1-го уровня, I = 1, /. Для проверки этой гипотезы построим новую таблицу, исходя из табл. 4.6.1, следующим образом. Остаточная сумма квадратов Еуу делится на две части — сумму квадратов Е2ху/Ехх, определяемую регрессией, и сумму квадратов Еуу — Е*ху/Ехх отклонений от регрессии. Остаточное число степеней свободы vE соответственно разбивается на 1 и vE— 1. Аналогичное разбиение производится для полной суммы квадратов Туу и полного числа степеней свободы vт. Таким образом, получаются суммы квадратов и числа степеней свободы первых двух
4.6. Ковариационный анализ
303
источников дисперсии, указанных в табл. 4.6.2, а именно внутриуровневой и полной. Сумма квадратов и число степеней свободы оставшегося источника дисперсии — разности для проверки равенства скорректированных средних — получается вычитанием внутриуровневой суммы и числа степеней свободы из полных.
Таблица 4.6.2
Разбиение остаточной и полной сумм квадратов
квадратов °11™%хюЛЯ Отклонение от регрессии
Источник (табл. 4.6.1)
дисперсии
ст.св. 55 ст. св. 5Б ст. св. Б5 МБ
Е2 Е2
Внутри хЕ Еуу 1 =2*- VE-l ^уу-гг4
уровней С** Схх
(остаточная)
т2 т2
Полная ут Туу 1 =^ *т-1 Туу-—^
1хх 1XX
Разность \'м=\'т— М(,(,— М5м
для провер- _уЕ т2 р2
ки различий __т I ху
между скор- Тхх Ехх ректирован-пыми
средними
(Напомним, что vм + vE = vт и Б5М + = 55г.) Средние квадраты в последнем столбце получаются делением суммы квадратов отклонений относительно регрессии на соответствующие им числа степеней свободы. В соответствии с равенством (4.6.12) получим, таким образом, внутриуровневый средний квадрат М5Е, дающий несмещенную оценку дисперсии о2, а также средний квадрат МБМ. Для проверки гипотезы о равенстве скорректированных средних Н„: «1= •••=«; = 0 воспользуемся F-oтнoшeниeм
F = MSM/MSE, (4.6.16)
имеющим ^-распределение с vм и vE — 1 степенями свободы. Я-значение, как всегда, равно площади справа от точки под кривой плотности распределения F vE — 1).
