Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
В этом эксперименте фактором А является метод тренировки, уровнями — четыре способа тренировки и каждый применяется на группе размера Ji = 10, I = 1..... 4.
Измеряются две величины: уц — расстояние до змеи после тренировок по «-му способу и Хц — расстояние до змеи до тренировок. Предполагая линейную связь между уц и Хц, можно воспользоваться однофакторным ковариационным анализом для оценки и сравнения дифференциальных эффектов четырех методов тренировки после учета исходных различий между испытуемыми.
Из этого примера видно, что одной из целей ковариационного анализа является повышение точности анализа интересующих нас измерений уи путем учета эффектов, определяемых сопутствующей Переменной Хц.
Выигрыш в точности сильно зависит от величины коэффициента корреляции между этими переменными.
Модель ковариационного анализа можно записать в виде общей линейной модели, рассмотренной в разд. 4.1. Поэтому МНК-оценки ее параметров оказываются несмещенными и имеющими минимальную дисперсию среди всех линейных несмещенных оценок. Используя метод наименьших квадратов, получим оценки среднего и внутригруппового коэффициента регрессии:
А = У., и Р = Еху/Екх. (4.6.6)
Здесь
/ и I -и
= Е Е (хц - *и)2 и Еху =• Е Е (х(1 — х1.)(уи - Уь).
1=11=1 1=11=1
Кроме того, мы получим оценки скорректированных дифференциаль -пых эффектов на всех уровнях:
= {Уи - У.) - Р (*,, - *..), 1=1,..-,/. (4.6.7)
х) Такого рода эксперимент был проведен С. Замом (Dr. S. Zahm, University of Portland, Portland, Oregon).
298 Гл. 4. Дисперсионный анализ
Отметим еще, что оценкой скорректированного среднего ц. + щ, соответствующего уровню г, служит
А + в*(*,.-*..), »'=1,...,/. (4.6.8) В некоторых ПСП программы ковариационного анализа вычисляют и печатают таблицу ковариационного анализа типа табл. 4.6.1. В этой таблице содержатся суммы квадратов и перекрестных произведений для различных источников дисперсии: между уровнями (группами или средними), внутри уровней (групп или средних) и полной. Отметим, что в столбцах, называемых XX и УУ, фигурируют просто суммы квадратов, вычисляемые в однофакторном дисперсионном анализе, для переменных хц и у^. Элементы столбца ХУ получаются по аналогичным формулам из произведений этих двух переменных. Из остаточной компоненты дисперсии определяются величины Ехх и Еху, необходимые для оценки внутри-группового коэффициента регрессии (5 (по формуле (4.6.6)). Для оценки р и аг нужно вычислить средние хг., х.., уг. и у., при помощи этой же программы или какой-нибудь дескриптивной. Наконец, при каждом», 1 = 1,...,/, можно построить линию регрессии, так называемую внутригрупповую линию регрессии, задаваемую уравнением
0 = &. + Р (*-*/.)¦ (4-6.9)
Она представляет собой МНК-прямую для подпопуляции, соответствующей г-му уровню фактора А, Угловые коэффициенты всех прямых равны р, так что все прямые параллельны.
Исходя из таблицы ковариационного анализа, мы сможем построить еще две линии регрессии. Первая, называемая линией регрессии средних, определяется как МНК-прямая для множества выборочных средних: (хг., уъ), (х2., у2.), (х1ш, у,.), соответствующих / различным уровням фактора А. Она задается уравнением
0 = ?. + М*-*..). (4-6.10)
Коэффициент ,ЬМ = Жху1Жхх, равный отношению средних сумм квадратов для ХУ и XX, называется коэффициентом регрессии средних. Вторая линия, называемая линией полной регрессии, соответствует регрессии у по х в полной выборке объема п, полученной слиянием подгрупп для всех / уровней. Методом наименьших квадратов получаем
У = У.. + К(х-х..), (4.6.11)
где коэффициент ЬТ = Тхи/Тжх, равный отношению полных сумм для ХУ и XX, называется полным коэффициентом регрессии. Наконец, величина
МБ.
1_ГЕ _е*
/ - 1 [^уу
^ п-1-1 I. ^ Е дает несмещенную оценку дисперсии ошибок о'
(4.6.12)
Таблица 4.6.1
Однофакторный ковариационный анализ
Источник Число
дисперсии степеней
свободы
Сумма квадратов и смешанные произведения
XX ХУ УУ
' 1 1
Между УРОВНЯМИ ?М = /— 1 М*ж= —*..)» Мху= (*<¦ — *• .)(У1-~ У-) Жуу = 2] Ji (91- — У-)*
(СреДНИМИ) 1=1 1=1 ,=1
Внутри уровней = л / Е„=2 ]] (*,7 — *,-.)а Еху = 2 И (*г / ~ (#<7 — Еад = ЗЕЗ ЗС ^<7 — & 0я (средних) ;=1 /=1 »=и/=1 (=1 /=1
Полная vт = п - 1 Т« = ? Ц (*ц ~ * )2 Т„, = ? ? (*'/ ~ * ¦) ~ У-) Туу = ЗС 13 (И/ ~ *••>•
»=1 /=1 »=1/=1 1=1 /=1
306
Гл. 4. Дисперсионный анализ
Пример 4.6.1 (продолжение). Данные, полученные в описанном эксперименте, приведены в табл. А. Используя дескриптивную программу, найдем оценки
^. = 17.1, *2. = 16.0, = 16.8, *4. = 15.3,
&. = 26.8, ?2.= 11.9, уз. = 8.2, ^. = 15.3,
х„ = 16.3, ц = у.. = 15.5.
Таблица А
Набор данных
Тренировочные группы
(х,у) ¦---¦--
Эля испытуемых 1 2 3 4 (контроль)
1 25,25 17,11 32,24 10, 8
2 13,25 9, 9 30,18 29,17
3 10,12 19,16 12, 2 7, 8
4 25,30 25,17 30,24 17,12
5 10,37 6, 1 10, 2 8, 7
6 17,25 23,12 8, 0 30,26
7 9,31 7, 4 5, 0 5; 8
8 18,26 5, 3 И, 1 29,29
9 27,28 30,26 5, 1 5,29
10 17,29 19,20 25, 10 13, 9
