Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
4.5. Дисперсионный анализ при помощи регрессии
291
полнительные условия. Затем для построенной модели, следуя процедуре, описанной в замечании 4.5.2.1, нужно построить таблицу дисперсионного анализа. Для проверки гипотез нужно выписать ожидания средних квадратов для исходной модели и вычислить соответствующие /^-отношения. Как указано в замечании 4.5.2.2, если числа наблюдений в разных ячейках различны, то формулы для EMS отличаются от формул в случае равного числа повторений. Проверка гипотез, тем не менее в обоих случаях проводится одинаково. Но для оценки компонент дисперсии случайных факторов нельзя использовать значения EMS, вычисленные по формулам для модели с равным числом наблюдений.
Пример 4.5.3. Предположим теперь что у фактора А, соответствующего модели I, три уровня, а у фактора В, соответствующего модели II, два уровня. Пусть в разных ячейках число наблюдений различно. Поэтому мы не можем воспользоваться стандартной программой дисперсионного анализа. Данные для этого гипотетического эксперимента приведены в следующей таблице.
в
А 1 2
1 Ут 17.5' У121 = 10,1
Уиг = 16.2 У122 = 8.6
У123 = 11.3
2 У2И = 13.2 У221 __ 5.4
У222 3.7
3 Узч 12.8 У121 10.3
Уи2 10.4
Узч = 9.9
Действуя в соответствии с описанной процедурой, получим
Шаг 1 и замечание 4.5.3.2. Несмотря на разное число наблюдений в ячейках, модель дисперсионного анализа аналогична модели, задаваемой равенствами (4.3.1). А именно:
Уцк = И + «, + 6/ +чи + ецк, ' = 1, 2, 3, /'=1,2, к = 1, .. .,Кц
где уи = (аЬ\ф а Ки = 2, /С21 = 1, К31 = 3, Кзг = 1, К12 = 3, /С22 = 2. Дополнительное условие для фактора А имеет вид ах + -+- а2 -+- а3 = 0. Рассматривая фактор В как фактор с фиксирован-
10*
292
Гл. 4. Дисперсионный анализ
ными эффектами, выпишем дополнительные условия для фактора В и взаимодействия AB
К + ь2 = о,
Yn + Y21 + Y31 = Y12 + Y22 + V32 = Y11 + V12 = V21 + Y22 = У 31 + ?32 = ° Шаг 2. Используя дополнительные условия, получаем аз = — «1 — а2. h = — Ьи
V12 = — Tu- V22 =* — V21.
Y31 = — Tu — V21, Y32 = — Ysi = Yn + Та-
Подставляя эти выражения в исходную модель, приведем ее к виду, содержащему только генеральное среднее р и минимальное множество из 5 дифференциальных эффектов ах, а2, Ьъ уи и v2i:
УиА = И + а1 + &1 + Т11 + ^ш. ^ =1,2, #211 = И- + «2 + &i + Y21 + ^211.
Узи = И — ai — аг + К — Yii — V21 + «3ib ^ = 1, 2,3, #12* = ^ + «1 — Ь\ — Yu + ^i2b ?=1,2,3,
#22* = И- + «2 — К — Y21 + «22Ь ?=1,2, #321 = И" — «1 — а2 — &1 + Yll + ?21 + «321-
Шаг 3. Перенумеруем наблюдения ух = уи1, у2 = #U2, #12 = #321- Положим ег = alt % = осг, 63 = blt в4 = уп и в5 = у21.
Модель приведется к виду
f,* = |i=ie1 + 0e> + ie8+ie4 + 0ee + e*, k= 1, 2,
Уз = 1* + O0i + 102 + lo3 + 004 + 105 + ея,
^ = |х + (-1)91 + (-1)в,+ 1ва + (-1)в4 + (-1)в, + е*.
& = 4, 5, 6,
й = |х+1в1 + 0в, + (-1)е8 + (-1)84 + 0в, + е*1 ? = 7, 8, 9, у*=|х + 0в1+1в, + (-1)в, + 0в4 + (-1)в, + /*, ?=10, 11,
Vit = Р. + (- 1) 01 + (- 1) U« + (- 1) 03 + 104 + 10* + Ви.
4.5. Дисперсионный анализ при помощи регрессии 293
Шаг 4 и замечание 4.5.1.3. Исходные данные для расчета по программе множественной регрессии приведены в таблице.
к У *1 *2 Xs
1 17.5 , 0 I І 0
2 16.2 1 0 1 1 0
3 13.2 1 1 1
4 12.8 -1 -1 1 - і -1
5 10.4 -1 -1 I _ і -1
6 9.9 -1 -1 1 -1 -1
7 10.1 1 0 -1 -1 0
8 8.6 1 0 ' -1 - і 0
9 11.3 1 0 -1 -1 0
10 5.4 0 1 -1 0 -1
11 3.7 0 1 -1 0 -1
12 10.3 -1 -1 -1 1 1
В результате расчета получим значения ЭЭ^ = 10.757 и = 6 и оценки р, = 10.99, Вх = ах = 2.44, 92 = а2 = —2.11, так что а3 = —аг — а2 = —0.33. Оценки для параметров 63, 94 и 85, полученные программой, нет смысла приводить, поскольку они соответствуют случайным эффектам.
Шаг 5 и замечания 4.5.2.1 и 4.5.3.2. Мы хотим заполнить табл. 4.3.1. Для каждого источника дисперсии удалим соответствующие х и получим результаты, сведенные в табл. А. После
Таблица А
Сводные данные
Источник дисперсии Гипотеза Удалить из исходных данных SS'r VR ssH = = SSR-10.757 vH =v'R-
Фактор А Є!=Є2=0 48.996 8 38.239 2
Фактор ? е3= о хя 82.626 7 71.869 1
Взаимодействие е4=е6=о Хц, Ж5 36.591 8 25.834 2
этого нужно вернуться к исходной модели (т. е. рассмотреть фактор В и взаимодействие AB как случайные) и заполнить таблицу дисперсионного анализа (табл. В), включая и столбец EMS. В формулах для EMS (см. табл. 4.3.9) о\ и а%ь обозначают диспер-
294 Гл. 4. Дисперсионный анализ
Таблица В
Дисперсионный анализ
Источник дисперсии Сумма квадратов Число степеней свободы Средний квадрат
Фактор А 38.239 2 19.119
Фактор В 71.869 1 71.869
Взаимодействие А В 25.834 2 12.917 а2 +
Остаток 10.757 6 1.793 о2
Полная 146.699 11
сии случайных эффектов, определяемых соответственно фактором В и взаимодействием Л В. Значения коэффициентов кх и ^ получить довольно трудно, потому что у нас разное число наблюдений в ячейках. А без них мы и не можем оценить <з\ и <з\ь- Тем не менее мы можем проверить гипотезы, например, при уровне а = 0.05:
a) Я0: о2аЬ = 0, Р = М5АВ/М5К = 7.2. Гипотеза Я0 отвергается, поскольку Ро.дз (2, 6) = 5.14.
