Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
276 Гл. 4. Дисперсионный анализ
план как трехфакторный с N = 1 наблюдением для каждой тройки уровней. Выпишем соотношения между двумя наборами источников дисперсии (факторной и расщепленной модели), используя стандартные обозначения факторной модели.
Расщепленная Факторная
SSA. SS л.,
SSr(D = SS^A,,
SS^!>i2,
= 85л2л3,
85л,л2л
ssR
SSR)
/ = 1, 2, З,
(4.4.8)
если программа не допускает повторений, если программа допускает повторения.
4. План латинских квадратов. В этой ситуации нам заданы три фиксированных фактора Л,, Л2 и Л3 с одним и тем же числом уровней у всех трех, т. е. 1Х = h = In — I ^2 3. Предположим также, что никаких взаимодействий между факторами нет. В плане латинских квадратов каждый уровень фактора Ах сочетается ровно один раз с каждым уровнем фактора Л2 и ровно один раз с каждым уровнем фактора Л3. Чтобы фактически построить такой план (латинский квадрат), выпишем в порядке возрастания все / уровней фактора Ах и / уровней фактора Л2 в виде двумерного массива, считая уровни фактора Ах строками, а фактора Л2 — столбцами. В каждой клетке мы зададим значение фактора А3 так, чтобы каждый уровень Ла встречался ровно один раз в каждой строке и в каждом столбце. Наблюдение в ячейке (iV'a). обычно обозначаемое г/(1,-2, теперь будем обозначать через Уі^^с,). Здесь і3 — это уровень фактора Л3, соответствующий паре іхіг в латинском квадрате.
Два примера латинских квадратов для / = 3 приведены в табл. 4.4.3. Числа в матрице обозначают уровни фактора Ла, а буквы — наблюдения. Заметим, например, что f = t/23(i). а /' = #23(2). потому что комбинации 2, 3 уровней факторов А{ и Л2 соответствует уровень 1 фактора Л3 в первом квадрате, и уровень 2 — во втором.
Для любого / существует множество различных латинских квадратов. В идеале экспериментатор должен был бы составить список всех возможных латинских квадратов и для своего эксперимента случайным образом выбирать один из них. Чтобы облегчить эту операцию, мы можем воспользоваться списком латинских квадратов, составленным Fisher, Yates (1963).
4.4. Общая программа факторного планирования
277
Таблица 4.4,3
Два примера латинских квадратов (/ 3)
Лг А?
12 3 12 3
1 1 а 2 Ь 3 с 1 2 а' 1 А' 3 с'
Л, 2 2 й 3 е 1 Г Л, 2 1 </' 3 є' 2 Г
3 3 9 1 Н 2 і 3 3 9' 2 Н' 1
Этот план лучше факторного плана с тремя факторами тем, что вместо Р наблюдений, необходимых для факторного плана, для плана латинских квадратов достаточно Р. За эту экономию мы расплачиваемся тем, что предполагаем отсутствие всех взаимодействий.
План латинских квадратов описывается моделью
»(,(.((.) = Р + Ыи + Ы<. + («з)(. +ем,<?.). (4-4-9)
Здесь — дифференциальные эффекты факторов А], / = 1, 2, 3, а ошибки е11(-2 (,-,) независимы и распределены по N (О, а2). Дополнительные условия, как обычно, имеют вид
Е ^ Л М*. -- 2 («з)(. -= о.
^1 ^2
Комбинации индексов (г'3) в (4.4.9) задаются выбранным латинским квадратом. Например, первый из латинских квадратов, изображенных в табл. 4.4.3, задает следующее множество комбинаций: |(1, 1, 1), (1, 2, 2), (1, 3, 3), (2, 1, 2), (2, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 3, 2)), а второй квадрат — множество {(1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 3, 3), (2, 1, 1), (2, 2, 3), (2, 3, 2), (3, 1, 3), (3, 2, 2), (3, 3, Отметим еще раз, что эти множества содержат по Р, а не Р комбинаций.
Таблицы дисперсионного анализа и проверки гипотез для плана латинских квадратов задаются табл. 4.4.4 и 4.4.5 соответственно.
Для того чтобы получить табл. 4.4.4, используя факторную программу, мы рассмотрим для плана латинских квадратов два факторных плана с двумя факторами и N = 1 и вычислим таблицы дисперсионного анализа для каждого. Сперва воспользуемся программой для плана с факторами Ах и Л2 и получим суммы ква-
278
Гл. 4. Дисперсионный анализ
Таблица 4.4.4
Таблица дисперсионного анализа для плана латинских квадратов
Источник Сумма степеней сРе«ннй ЕМЗ
дисперсии квадратов свободы квадрат Е'па
а2 +
Л2 SS,42 = /?] (у.І2.— y..())2 va2 = I—\ MSa, -г -у—!
І 2
а2 + 1 У, («з)?
А3 SSa8 = /J] (?••«»)-?•¦(•))¦ v^, =7-1 MS^ + у_{'3
із
Остаток SSR = ST - (SSAl + vR = (/ - l)x MSR a2
4-SS^24-SS^) X(/-2)
Полная SST = ^ S S K<2«-3> - ,
,2
Таблица 4.4.5
Критерии для плана латинских квадратов
Я„: все(а!)гі = 0 Я„: все (аг)/2 = 0 Ну. все (аз),-3 = 0
MSr MSR MSr
дратов и степени свободы для факторов Ль Аг и взаимодействия А\Аг. Полная сумма квадратов и число степеней свободы гт равны
ЯБт = 58д1 + 85Лі + 55ЛіЛі, vт = чАі + чА, + хАіАг. (4.4.10)
Затем перепишем наш латинский квадрат так, чтобы фактор А3 задавал столбцы, Л2 — вид обработки, а Лх — по-прежнему строки. Другими словами, произведем преобразование
Уии.и, 0м,</.> (4.4.11)
так, чтобы получилось то же самое множество комбинаций индексов. Например, первый квадрат из табл. 4.4.3 преобразуется
4.4. Общая программа факторного планирования
279
к виду в котором числа в клетках обозначают уровни фактора Л2. Например, измерение А = у2\ (2> в старом квадрате в новом будет обозначаться А = г/2 (і) 2- Снова воспользуемся нашей факторной программой и получим суммы квадратов и числа степеней свободы для факторов_Ль Ад и взаимодействия АХА3.
