Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
c) дифференциального эффекта (а^ак)1.1к, / < определяемого (двухфакторным) взаимодействием всех пар различных факторов А}Ак;
А) дифференциального эффекта (а^а,)^^, определяемого (трехфакторным) взаимодействием всевозможных троек попарно различных факторов А]Ак,А1, /<?<!/;
е) дифференциального эффекта (а^-• •ап),1,-2определяемого (т-факторным) взаимодействием всех т факторов ЛхЛа • • • Ат.
(4.4.1)
= ...,/:
п = \,...,Ы.
268
Гл. 4. Дисперсионный анализ
Как и раньше, будем считать, что величина ошибки распределена по N (О, о2). Для единственности МНК-оценок всех параметров нужно наложить дополнительные ограничения на сами параметры и их оценки. Обычно требуют, чтобы сумма дифференциальных эффектов для каждого фактора равнялась нулю, как и сумма дифференциальных эффектов для всех ^-факторных (& = 2, .... т) взаимодействий по каждому индексу при любых фиксированных значениях остальных. Например,
2 (а,аЛ)< .,к = 0 при всгх \к, ?(а/а*)<уА = 0 ПРИ всех ' •
Использование факторных программ из ПСП особенно полезно при больших значениях т, потому что даже вычисление сумм квадратов становится затруднительным. Чаще всего эти программы называются «дисперсионный анализ факторного планирования», «т-факторный дисперсионный анализ», «дисперсионный анализ т-факторных перекрестных планов». Все эти программы можно разбить на две группы: допускающие повторение экспериментов (т. е. N ^ 1) и недопускающие (/V = 1). Рассмотрим теперь каждый из этих случаев. 1-,
1. Программы, допускающие повторение. В этом случае на выходе типичной факторной программы печатаются суммы квадратов, степени свободы, средние значения квадратов для остаточной компоненты (или ошибки) И и каждого источника дисперсии Аи Л2, Ат, АХА2, Ат.хАт, ... и ЛХЛ2- • -Ат, т. е. связанной с каждым фактором, взаимодействием каждой пары различных факторов, каждой тройки попарно различных... и, наконец, взаимодействием всех факторов. Для каждого источника дисперсии (кроме остаточной суммы Ю исследователь может проверить нулевую гипотезу Я0, состоящую в том, что все соответствующие дифференциальные эффекты равны нулю. Например, для источника, определяемого взаимодействием АуА^Аз, гипотеза имеет вид Я0: (а^од),,,-,,, = 0 при всех1ь /2,13, гх = 1, 1Х, г2 = 1, ...
/2, г3 = 1, /3. Все ожидаемые значения средних квадратов имеют вид суммы дисперсии ошибки о2 и величин, которые равны 0, если только гипотеза Я0 справедлива. А так как остаточная сумма квадратов МЭК дает несмещенную оценку о2, то для проверки гипотезы Я0 мы рассмотрим отношение среднего квадрата МБ,,,, соответствующего данному источнику, к остаточному среднему МиЗк. Пусть vн и гк обозначают число степеней свободы для этих двух средних квадратов. Тогда для проверки выполнения Я0 вычислим Р-отношение
Р = МБн/МБн = (85нЛ>н)/(85„Лъ). (4.4.2)
Если гипотеза Я0 справедлива, то эта статистика имеет Р-распре-деление со степенями свободы vн и Р-значение равно площади
4.4. Общая программа факторного планирования
269
под кривой плотности распределения Р (ун, ук) справа от точки р. Гипотеза #„ отклоняется, если Р < а.
Если число повторений в эксперименте N = 1, то предполагается, что все дифференциальные эффекты /п-факторного взаимодействия равны нулю. Поэтому в выходной таблице программы нет графы для источника дисперсии АГА2 ... Ат.
2. Программы,*" предполагающие неповторяемый эксперимент. Если в эксперименте N = 1, то компонента, соответствующая т-факторному взаимодействию, принимается за остаточную, так что
ББр = ББ^...^, vR=^VA1...Arn и МБК = ЖА1...Ат-
Поэтому выходные таблицы типичных программ такого рода содержат суммы квадратов, число степеней свободы и средние значения квадратов для всех факторов и /^-факторных взаимодействий, & = 2, т, но не содержат графы для остаточной компоненты. Для оценки дифференциальных эффектов можно воспользоваться соотношением (4.4.2).
С другой стороны, если в эксперименте N > 1, то можно ввести новый фактор «повторения» Ат+1 и воспользоваться программой дисперсионного анализа для получившегося т + 1-факторного плана. На выходе этой программы мы получим данные для всех источников дисперсии и их ^-факторных взаимодействий, & = 2, т, т + 1. Затем необходимо объединить суммы квадратов и число степеней свободы для фактора Ат+1 и всех взаимодействий, содержащих этот фактор. Эти объединенные величины дают остаточную сумму квадратов и число степеней свободы V,} для исходного т-факторного плана с N повторениями. Поэтому МБК = 55к/гк, и мы вновь можем воспользоваться формулой (4.4.2) для оценки эффектов.
Рассмотрим, например, однофакторный план (4.2.1) с одним фактором АХ и N повторениями на каждом уровне фактора АХ. Назовем фактор Л2 «повторением» и проанализируем нашей программой соответствующий двухфакторный план. В результате программа напечатает суммы квадратов ББ^, 55л2, 58л,у12 и числа степеней свободы ха„ ча2 и уА^лг для компонент Аъ А2 и Л]Л2 соответственно. Значения ББр и ук для однофакторной модели равны
= ББл,, + ББл^, и ук = VA2 + VAІA2,
так что
МБН = БЗкЛъ. (4.4.3)
