Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
(fx = m, т — 1..... 2, 0, —1) с помощью рекуррентной
формулы 7.2.5, начиная с wjg+g = 0, w™+1 --= 1. Тогда для любого фиксированного к (см. [7.7])
Iim ^ ^ex4Icedcx (х> 0).
»«(*) 2
Для X — 1.72, т = 15 получаем
V- • Ifu.78 V »"«¦К) і " к> Jt50.72) V- •Jf<l.ni
17 0 12 ' (3) 2.1011 7 1 (7) 2.5879 2 (11) 1.2920
16 1 11 (4) 1.3831 6 (8) 1.5569 1 (11) 6.0064
15 3.44 10 (4) 9.8005 5 (8) 8.9787 0 (12) 2.5830
14 (1) 4.3834 9 (5) 6.4143 4 (9) 4.9570 -1 (13) 1.0087
13 (2) 2.5399 8 (6) 4.1666 I 3 (10) 2.6031
Из табл. 7.1 имеем — е~^'72)г = 0.058565. Таким
V*
образом, і erfc 1.72 A
« (0.058565) (6.0064- 10^)/1.0057- IO33 = 3.4873 • IO"3, і2 erfc 1.72 аз
« (0.058565) (1.2920- 10u)/1.0087• IOls = 7.5013- IO"4, і8 erfc 1.72?
« (0.058565) (2.6031- 1010)/1.0087• 1018 = 1.5114- 10~4.
Пример 6. Вычислить С (8.65), используя табл. 7,8. Для х — 8.65 i/х = 0.115607; из табл. 7.8 получаем линейной интерполяцией значения
/(8.65) = 0,036797, #(8.65) « 0.000159.
В табл. 4.6 находим
sin (тоса/2) = —0.961382, cos (ItxtIZ) = -0.275218.
Используя формулу 7.3.9, имеем
С(8.65) = 0.5 + (0.036797) (-0.961382) -
- (0.000159) (-0.275218) = 0.46467.
Пример 7. Вычислить Si(l.l) с точностью 10D. Используя формулы 7.3.8, 7.3.10 и применив интерполяцию по 6 точкам в табл. 7.8, получаем
S1(Ll) = S^U УН = S(0.87767 30169) =.
= 0.31865 57172.
Пример 8. Вычислить S2 (5.24) с 6D. В табл. 7.7 возьмем столбец под буквой и. Используя интерполяционную схему Эйткена:
¦ SM
5.20310 58 5.31808 80 5.08938 01 5.43432 70 4.97691 U .43280 06 . 03689 42 .41573 97 -.07808 80 .45093 88 .15061 99 .39999 44 -.19432 70 .46990 94 .26308 89 .42732 63 691 63 756 60 674 79 .42718 63 6 52 9 39 .42717 71 61 .42717 67
Пример 9. Вычислить S2 (5.24), используя ряд Тейлора и табл. 7.8.
Согласно формуле 7.3.21 можно написать ряды Тейлора
для Ми) — j/^j в следующей форме:
получаем Sa(5.24) = 0.427177.
Ми)
Со + C1 (и — Но) + — (и — Но)8 + — (и — Uo)*+ ....
2! 3 t
Ss(«) =
+ С8(и - Но) + (и-Мд)Ч 21
^ („-а.)'+...]. примеры
129
Со = Д(ио), Ci =1—gjua),
,. ..,1-3- (.2k — 1)
«И— -4,+(-1) -^?!-
(Jt =0, 1, 2,,..)
Просмотрев табличные входы табл. 7.8. выбираем W0 = = 1/0.185638 = 5.386819. Таким оэразом, и — W0 = 5.24 — - 5.386819 = -0.146819. Из табл. 7.8
ДЫ = 0.168270, J2 (во) = 0.014483. Применяя выписанные выше ряды, получаем
/„(5.24) = 0.170436, g, (5.24) - 0.015030. Используя четвертую формулу в конце табл. 7.8, имеем ЗД5.24) = 0.5 - (0.170436) (0.503471) -
_ (0.015030) (-0.864012) = 0.42718. Пример 10. Вычислить S2(I), используя 7.3,1 б. Образуя значения 7,,,1,-(2), как указано в гл. 10, находим
ЭД = /а/г(2) + J,d2) + Л 1,2® + /1іМ(2) + ... -
- 0.49129 + 0.06852 + 0.00297 + 0.00006 - 0.56284.
Пример 11. Вычислить
<о
dt численным инте-
грированием, используя табл. 9.1 и 7.8 (Уо(0 — функция Ьесссля второго рода, определенная в 9.1.13). Разбиваем интеграл на три части:
two - ад]
aj + 5 ад f.
где функция
ToW -
I 1281\
\ sin(r - TC/4)
} V KiJl
75 1 cos (t - те/4)
128/" J ZtyjrjJl
представляет собой первые два члена асимптотического разложения 9.2.2.
Первый интеграл получаем при помощи численного интегрирования, беря значения из табл. 9.1:
ад)
dt
Используя тот факт, что остаток асимптотического разложения по абсолютной величине меньше первого отбрасываемого члена, можно дать следующую оценку:
^ [I-.I
і(о-аді"
. ]/2"ГЗ!-5«-7» ! Г» J 2ІІ\4Г
г""+
2U•5! J
Наконец,
і YoiO
dt 14 659
t 6720 5 953 819 cos 10
V2 [1 - Ca(IO) - Sa(IO)] --sinlO 23 107 cos 10+sin 10
2 688 000 VlO^ 2150400 VlO тг
= - 0.02298 78.
В последних вычислениях использовались табл. 7.8. Следовательно,
С Y0(t) - = 0.41826 00 — 0.02298 78 = 0.39527 22,
Значение того же интеграла с точностью 8D равно 0.39527 290 (см. іабл. 11.2).
Пример 12. Вычислить гу(0.44 + 0.67 і), используя двумерную линейную интерполяцию.
Линейная -интерполяция по л- в табл. 7.9 при у = 0.6 и у — 0.7 дает
w(0.44 + 0.6 0 » 0.6(0.522246 + 0.167880 0 +
+ 0.4(0.498591 + 0.202666 0= 0.512784 + 0.181794/,
»(0.44 + 0.7 0 « 0.6(0,487556 + 0.147975 0 +
+ 0.4(0.467521 + 0.179123 0 = 0.479542 + 0.160434/.
Линейная интерполяция по у при х = 0.44 приводит к значению
»(0.44 + 0.670 = 0.3(0.512784 + 0.181794 i) +
+ 0.7(0.479542 + 0.160434 0 = 0.489515 + 0.166842/.
Значение функции с 6D равно 0.489557 + 0.166889 і.
Пример 13. Вычислить Re te-(z) для г =« 0.44 + 0.611. Двумерная линейная интерполяция, которая описана в примере 32, наиболее точна в том случае, когда : расположено около центра или около диагонали одного из квадратов табличной сетки (см. [7.6]). Она будет значительно менее точной, когда - близко к ссрединс стороны квадрата, как в данном примере. Однако можно ввести вспомогательный квадрат (см. диаграмму), в котором z находится около центра. После этого может быть выполнена двумерная линейная интерполяция в этом вспомогательном квадрате.
