Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
7.3.29. - (-1)»-3 :лл1г1) <>">¦
(Ttz2)2» 1 г ,, ;. - г,—J ,¦
ЄЛ = -і- I —Cl-dt
Т(2п+ 1/2) J 1 + (2(/itz2)2 о
[largzK^j.
7.3.30. /ф'й = (-1)» - (4" + 0 е<«>,
(itz2)2»
1
Г(2н + 3/2) 5 1 + (2tf Ttza)2
7.3.31. Іві'Ч < 1, I 6m I < 1
(|argz|<ij.
(largzK^J.
Для действительных л- остатки (л) и It];' (х) по абсолютной величине меньше первого отбрасываемого члена и имеют тот же знак.
Аппроксимация рационаліньїми функциями *)
(0 =S X < 00)
7.3.32. /(*) =
7.3.33. g(x) -
1 + 0.926 X
2 + 1.792 X -t- 3.104^
+ є<*),
UWI S 2-10"».
2 + 4.142 X + 3.492 д:3 + 6.670 х* +
I tWI S 2- 1.0"»
Более точные приближения СМ. В 17.1]. 7.4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ II НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Более полную таблицу интегралов см. в [7.5], [7.8], [7.15], [7.22].
7.4.1. ^ '.
Г"* =
,-(«ІЧ-2М + 4 А _ I ]/ ™ „<*>-«)/• erfc Д.
2 I j Va
(Re а > 0).
Л-і У! е"2^5
(Re о > 0, Re 6 > 0).
Je ЙІ--|/ а 2а"*1п
(Re а > 0, я = 0, 1, 2,...).
!"+?-"'A=
2,,.+1
(Re о > 0,11 = 0,1, 2,...).
е cos (2xt)
(Re п > 0).
(Re а > 0).
- Wi
7.4.7. \ e-'\m(2xt)dt=~e-4- [ е"
і J
7.4.8. С 4^-— - ][- є*? VSz
J V» + Zi |f а
о
(Re а > 0, Re z > 0).
7.4.9. f 'i---- = е" erfc 402
JV'(( + z) V^
о
(Re а > 0, z ф 0, I arg z I < it).
¦Л»
е-"" dt і + л:
v tl ^ e'v/--~ hi (l'/л")
,.«^-^'f^^erfcV«,
(a > 0, * > 0). (а > 0, * > 0).
*) Формулы 7.3.32, 7.3.33 базируются на формула*, данных в [7.10]. 126
7. интеграл вероятностей и интегралы френеля
\ -f— = -J ?»[1 - (erf VS)2] (в > 0).
ye—dl fr - 0s + f
- г- Re Mx + Iy)
(Im X - 0, у > 0)
(х — і) е-' dl (х - if + f "
Я Іш '<'- (-'¦' + Іу)
(Im X = Ot у > .0).
t<» -(х? -f)] е~' dt
I1 - 2(х» - y>)t* + + >¦*)*
„ Jr, «fr+ 0-) Qtalx = O,j->0). 2 j» — /л:
2xye-'dl
I4 - 2(xs - /) /• + (л* + ff
~ T w(x 4- J v) /т л ^ л\
= — Im -— (Im у > 0).
2 З' *— ix
erf Ы dt = - e"'n" erfc —
a 2і
^Re а > 0, Iarg i| < ^J.
sm(2nl) erfc bid!=—U- e~ '"'"'l 2a
(a > 0, Re 4 > 0).
-4 Mt;
(Re (a + W > 0).
e-erfcj/l Л-I."
(Re о > 0, Re і > 0).
-2(V«+ ч/ВД
*<<¦-»>'erfc №" + /т <" =
(Re b > 0, Re с > 0).
5
7.4.22. \ c-»' cos (г3) dl =
-[4-- с(іУі)]4")} (Rea>0)-
7.4.23. ^
7.4.23. \ е""'Sin(I1)A =
-[¦і-
sl^V-lUml^-l (¦ (Re а > 0).
2 [. 2
sUftJI (Ree>0)'
,4,,
+ [у-s(^^j]wo(ai)J (Re a > 0, Re ft > 0). 4.26. J
VKf2 + 4s)
и
- [у - C (У^)] ь™(«ч} (Re a > 0, Re Ь > 0). 0
о ПРИМЕРЫ
127
«»і-ЧУ!)*-
7.4.30. jj <r"S j A =
2o(V«" + 1 - <>)ш ViirT-I
(Re о > 0).
_1_
2o(Vfla + 1 + o)"a V«'+ 1
(Re о > 0).
О
7.4.32. je-lB, + a, + "ir-
(С == const, а Ф 0).
7.4.33. J«—"-"'-At =
™ ert (ex + x~) + eetf [aX ~ Jr)] + C V*
(о Ф 0).
7.4.34. Je
4a
: Ji,, + ZilxJ +10 + ; С (аф 0).
Cerrxrfx=xerfjc+-U«_*" + C. J V*
7.4.36. Je«'erf Jxrfx =
= і p* erf bx - S''4* erf |/>x - Jj + C HD),
7.4.37. Je" erf ][jdx =
+ + C (0540).
7.4.38. J cos (ox! + bx + c) dx =
7.4.39. J sin (ax" + Jx + c) dx =
7.4.40. J C(x) dx - xC(x) - і sin xsJ + C.
7.4.41. J S(x) dx = хЗД + — cos ^^J + C.
ПРИМЕРЫ
Пример 1. Вычислить erf 0.745 и e ' • используя ряд Тейлора.
С помощью теоремы Тейлора и формулы 7.1.19 можно показать, что
erf (хо + ph) = erf X0 -f >= e~**ph X
.Vt
*[.-phxa + J ?к\гх%- 1)J + t,
е + - е~*![1 - Iphx0 + /«2х| - 1) -
- y,pWxo(2x3 - 3)]+ V|,
где І є I < 1.2' IO"", Tj I < 3.2- IO"10, если 4=10-', IjP IsS 1/2. Положим X0 ==- 0.74, р = 0.5 и воспользуемся табл. 7.1. Тогда
erf 0.745 = 0.70467 80779 + (0.5) (0.00652 58247) X X (1 - (0.005) (0.74) + (0.00000 83333) (0.0952)] = - 0.70792 8920, е-<0'7,5>!_
= (0.65258 24665) [1 - 0.0074 + (0.000025) (0.0952) + 2
+ (0.00000 00833) (0.74) (1.9048)] = 0.57405 7910.
Для контроля можпо провести вычисление при Xe = = 0.75,7» = -0.5.
Пример 2. Вычислить erfc X с точностью 5S для X = 4.8.
Имеем 1 /хв = 0.0434028. Использовав табл. 7.2 и применив линейную интерполяцию в табл. 7.3, получаем
CTfc 4.8 = (1.11253) (Ю-10) (0.552669) І~ =
= (1.1352)10-".
Пример 3. Вычислить е~*' dt с точностью 5S о
дляX = 6.5. Имеем 1 Ix- =0.0236686. С помощью линейной интерполяции в табл. 7.5 получаем 6.5
е"<6-3)' J ее 4i = (0.506143)/(6.5) - 0.077868. HkfErРАЛ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ИЙТЕГРАЛЫ ФРЁНЁМ
Пример 4. Вычислить is erfc 1.72, используя рекуррентное соотношение и табл. 7.1.
Из формулы 7.2.1 и табл. 7.1 получаем Г1 erfc 1.72 - 0.05856 50. Применим теперь рекуррентное соотношение 7.2.5 и снова воспользуемся табл. 7.1. Тогда і erfc 1.72 = - (1.72) (0.01499 72) +
+ (0.5) (0.05856 50) = 0.00348 73, і2 erfc 1.72 « - (0.86) (0.00348 73) +
+ (0.25) (0.01499 72) = 0.00075 02.
Отмстим, что в процессе этих вычислений иотеряны две значащие цифры.
Пример 5. Вычислить erfc 1,72 для Ar = I, 2, при помощи рекуррентного процесса для убывающи значений индекса. Образуем последовательность х>™(х)
