Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
Аппроксимация рациональными функциями (см. [7.10]) (О S= X < со)
7.1.25. erf X — 1 - (ait + Ot!* + azf) е~"' + є(х),
(-—!—, |eWI S 2.5-IO"6, 1 +рх
р - 0.47047, O1 = 0.34802 42, Os = - 0.09587 98, as - 0.74785 56.
7.1.J6. erf X - 1 - + Otf + о,(' + 0,(1 +
+ a.t')«-*" + e(x),
t=—!—, I e(x)| « 1.5і 10-', 1 +px
p = 0.32759 11, O1 == 0.25482 9592, as = -0.28449 6736, O3 =. 1.42141 3741, a, = -1.45315 2027, o, = 1.06140 5429.
1
7.1.27. erf X = 1
(1 + OiX + OS*» + O3Xs + O1X4)4
+ s(x),
I e(x) I « 5 ¦ IO"4, O1 = 0.278393, a, = 0.000972, o,- 0.230389, a, - 0.078108.
7.1.28. erf x=l--
1
(1 + 0,X + O.X« + ... + OeX8)18 +
I E(X)I <S 3- 10-', O1 = 0.07052 30784, os - 0.04228 20123, O3 - 0.00927 05272, a, - 0.00015 20143, o, - 0.00027 65672, a, = 0.00004 30638.
Бесконечный ряд для интеграла вероятностей комплексного аргумента (см. [7.19])
7.1.29. erf(x + iy) - erf X +
+ — [(1 - cos 2х.у) + і sin 2xy] + ® ,»-»'/а
+ -\fn(X> y) + ign(X, j,)] +
те 4x2
+ e(x, y),
ie
/*(*, y) — 2x — 2x ch ny cos Ixy + n sh ny sin 2xy> g»(x, y) = 2x ch ny sin 2xy + n sh ny cos 2xy, 1 e(x, y) I я 10-" 1 erf (x + !» |.
7.2. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Определение
7.2.1. і" erfc Z^J erfc tdt (л = 0, 1, 2,
і-1 erfc z = —=¦ е i0 erfc z = erfc г. Vtc
7.2.2. ?1 + 2г H
dZ8 <*2
Дифференциальное уравнение
2и>> « О, у — Ai* erfc г + Bin erfc (—
(А в В — постоянные). 7.3. ИНТЕГРАЛЫ ФРЕНЕЛЯ
123
Выражение в виде простого интеграла
2_ Г (I - г; v/it J л!
7.2.4. i" erfc z
Разложение в стслснноіі ряд *)
(-«•г1
Рекуррентные соотношения 7.2.5. і» erfc z =
i®-1 erfc Z -f — і"-2 erfc Z 2л
(л = 1. 2, 3,...).
7.2.6. 2(л + 1) (л + 2) i»+s erfc г ¦
= (2л + 1 + 2г*) i» erfc г--i"-» erfc z
2
(л - 1, 2, 3,...).
0 о.г ол OJ 0.8 to и и и is х
Ряс. 7.4. Кратные интегралы вероятностей. у = 2ПГ ^ + 1 j і» erfc Xl л- 0, 1, 2, 4, 8, 14, 22.
7.2.7. i" erfc О
(я = -1, 0, 1, 2,...).
Значение в нуле
- 1-2» Г(п/2 + 1)
Производные
7.2.8. — i" erfc Z= -i»-1 erfc z (л = 0, 1, 2,...). dz
л»
(о - 0, 1, 2,...).
Связь с Hh,(z) (см. 19.14)
7.2.10. i" erfc z =
1
-J»„(V2z).
(2 "-1It)1"
Связь с полиномами Эрмита (см. гл. 22)
7.1.11. (-I)»i"erfc2 + i*erfc(-z) ---HnUz).
2"-1«!
Связь с вырожденной гкпергеомегрической функцией (см. гл. 13)
7.2.12. i» erfc z = «-'Г-1-Vl-
[2*Г(л/2 + 1) I 2 2 I
----м (— + Ij
2"->Г((л + 1)/2) (.2
Связь с функциями параболического цилиндра (см. гл. 19)
Hl-
7.2.13. і» erfc z =
(2"'?)1"
0__,(zV2).
Асимптотическое разложение 7.2.14. i-erfc Z-A-^V
Vit (2z)"1 ,? n'ml(2z)»
|z-> оо, I argz] <
ТІ-
7.3.1. C(z)
Определение dt.
-Ит')
о
=Hfi*
7.3. ИНТЕГРАЛЫ ФРЕНЕЛЯ
Используются также следующие функции:
7.3.2. S(z)
*) Члены этого ряда, соответствующие к — в + 2, я + 4, n + 6.....считаются равными нулю.
7.3.3. C1(X)
7.3.4. Si(i).
о
га
cos <* Л, Ci(X)
^1L >
у2іг J
r-Vm,'dt, Si(X) = ^fd, 125
7 7. интеграл вероятностей и интегралы френеля
Вспомогательные функции
7.3.5. /(z) = [-J - ад] MS [I г'] -
-[І-ОДМ и
7.3.6. гИ _ [i - C(Z)] cos ^ Z=] +
+ [I-ад] Sin^ Z"].
Функциональные соотношения
7.3.7. СМ-С,(л]%],Сг(^]-
7.3.8.ад = *(х|/|) = фх*]-
7.3.9. C(z) = і + /(z) sinjj- Z2J - ї(г) cosj^ z!] .
7.3.10. S(Z) = -і -/(z) cos[j z=] - ?(z) SiII^ za] -
Разложения в рад
7.3.11. C(Z) = V fc^^z«--.
2п)!(4я + 1)
7.3.12. C(z) = cos
(Hg^
(-1)"
fej 1 • 3 ... (4Я + 1)
J)n Л2я+1
(4л + 3)
7.3.13. ад= p-JrW^L-^..
(2d -I- 1}' (4/z +3)
ЙЯ
fif «г « г« з/? w г
Рис. 7.5. Интегралы Френеля.
>¦ = ад. ^ = ад.
(4я + 3)
, ¦ Clt Л-г2-. (-І)"* + sin — z' V^ —5-'-
U J ^o 1 • 3 ... (4п
+ D
7.3.15. C2W - Лл(г) + /илМ + Л/>(г) + ...
7.3.16. Sa(Z) = /j;,(z) + J„&) + Лі/ї(г) + ... Функции Бесселя ./»+„,(г) см. В ГЛ. 10.
Соотношения симметрии
7.3.17. C(-z) = -C(Z) S(—z) - — S(z).
7.3.18. C(iz)-/C(z), S(iz) _ —ВД.
7.3.19. C® = C(z), S(z) = ад
Значение на бесконечности
7.3.20. CW -. - . S(x) - - (х - ю). 2 2
Производные
7.3.21. -TOig(X),
dx
dg(x) .
v- */{>¦') — 1-
C интегралом вероятностей (см. 7.1.1, 7.1.3) 7.3.22. C(z) + /S(Z) = І-ІІ erf [^ (1 - і) z] =
1+/(,
-Г-'^О +О.]}'
7.3.23. г(х) = Re [ -Iii- w [^ (1 + 0 х] } ¦
7.3.24. /(X) - Im { w Щ (1 + ,') х] } •
Связь с вырожденной гипергеометрической функцией (см. гл. 13)
7.3.25. C(z) + iS(z) ^ zM^ > I . і I z3j =
Связь со сферическими функциями Бесселя
(см. гл. 10)
7.3.26. Cs(Z) = IJ JLllJWt, S,(z) = J^ 7„г(1) Л. ІЛ. Оййдвлвйкьш и йёойгьдьпеьйыё йнтеґраліл
Асимптотические разложении
1 • 3... (4м- 1)
7.3.27. m/(z)~ I + с"')'
7.3.28. TZig(Z) ~ (-1)"
(Ttza)2" ^z со, I arg z I < J j , 1- 3 ... (4т + 1)
(itz*)2™+1
оо, ! arg z [ <
Если p!,['{z), — остатки, начинающиеся с (н — 1)-го
члена рядов 7.3.27 и 7.3.28 соответственно, то
