Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
7.2. Кратные интегралы вероятностей ........................................................................................122
7.3. Интегралы Френеля ................................................................................................................123
7.4. Определенные я неопределенные интегралы ....................................................................125
Примеры ............................................................................................................................................127
Таблица 7.1. Иятегралвероятностей в его производная (0 < х < 2)............ 131
ж
е~*\ erf X - [j=j ^ e~ftdt, X = 0(0.01)2, 10D. о
Таблица 7.2. Производная интеграла вероятностей (2 < х < 10) ............ 133
е~х\ X = 2(0.01)10, 8S.
Таблица 7.3. Дополнительный интеграл вероятностей (2 < х ^ оо)............ 137
*
хе*% erf с X = XClfl ^ e-^dt, x's = 0.25(-0.005)0, 7D;
о
erfc Jim, п = 1(1)10, 15D. Таблица 7.4. Кратные интегралы вероятностей (0 < х < 5).................. 138
X
X = 0(0.1)5, и = 1(1)6, 10, И, 6S.
Таблица 7.5. Интеграл Досона (0 < х < оо) ................................ 140
*
е-** J <fdtr X - 0(0.02)2, 10D. о
X
xe-*2^efldt, x~z - 0.25(-0.005)0, 9D. о
*
Таблица 7.6. (3/Г(1/3)> -""Л (0 =S * < 2.3) .............................. 141
о
ж = 0(0.02)1.7(0.04)2.3, 7D. 120
7. ИНТЕГРАЛ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ИНТЕГРАЛЫ ФРЕНЕЛЯ
Таблица 7.7. Интегралы Френеля (0 < х < 5) •
СО) = ^ cos /2j dt,
ОД - ^ sin IaJ dt, X = 0(0.02)5, 7D.
Таблица 7.8. Вепомогаїельньїе функции (0 < х оо) ........................ 144
/М = - ад] cos *»] - [ j - ад] sin J" . sw = - ад] ™ (j *'} + [-j - «*>](y * j'
A- = 0(0.02)1, х-1 = 1(-0.02)0, 15D.
Таблица 7.9. Интеграл вероятностей комплексного аргумента (0 3.9,
0 ^ у s; 3) ................................................... 146
w(z) = s-'' erfc(-iz), г = X + iy, X = 0(0.1)3.9, у = 0(0.1)3, 6D.
Таблица 7.10. Комплексные нули интеграла вероятностей (1 =S п < 10)........ 150
z„ erf zn =. 10, я - 1(1)10, 8D.
Таблица 7.11. Комплексные нули интегралов Френеля (0 ^ я < 5) ............ 150
г», С C(z,) = 0, S(zi) = 0,11 = 0(1)5, 4D.
Таблица 7.12. Максимумы и минимумы интегралов Френеля (0 ^ п 5) ...... 150
С(^4п + 1), C(i/4n + 3), S(V4n + 2), S(V4» + 4), л = 0(1)5, 6D.
Литература .................................................................... 151
7.1. ИНТЕГРАЛ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Определения
7.1.1. erf z = —pz V ? dt. 1/и J
7.1,3. w(z)^e~ ' [ 1 + ^ є* А | = е-' erfc(-iz).
В 7.1,2 на путь интегрирования наложено следующее ограничение: arg t --> а, где а| < тг/4, при t -* со вдоль пути. (Значение а = л/4 допустимо, если Re I1 ограничено слева.)
7.1.4. w(z)
Интегральное представление
= С e^dt 2/z? e~pdt я J Z - t *** п J Г2 - I8
(Im z > 0).
Разложения в ряд
. 7.1 ( у = е-'" dt: р = 2(1)6. 7.1. ИНТЕГРАЛ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
121
OA 0.8 12 IJ 2.0 IA X Ряс. 7.2. у = е-" j* с" dt-, P= 2(1) 6.
2»
7.1.«. erf 2- -
а і • з... (2м +и
.2П+1
7.1.7. erf г = - /s»+a;a(z!5l.
Функции Бесселя In-IlIix)
см. в гл. 10.
Соотношения симметрии
7.1.9. erf(-z) = - erf г.
7.1.10. erf z = erf z.
7.1.11. «i(-z) = 1е~'' - w(z).
7.1.12. w(z) = Hf=:).
Неравенства (см. [7.11], [7.17])
7.1.13.
1
X+ Jx*+ 2
х+|/г>+А
(л- а 0).
Другие неравенства см. в [7.2].
Разложения в непрерывную дробь
7.1
,14. Ie'' ^ <Г,!
А.
_1_ _1/2 3/2_
г+ z+ z+ z+ Z+ "'
(Re Z > 0).
LIS JL С e ^dt 1 1,2 1 3^2 2
^J Т. ) Z-I Z-Z-Z- Z- Z-
S-^pT 0m^0'-
и /Г"" — соответственно нули и весовые множители полиномов Эрмита. Их числовые значения см. в гл. 25.
0.2 0.1 1.0 U 1.8 2.2 2.S 10
* " 120 Рис. 7.3. Линии уровня m(z).
Значение на бесконечности
7.1.16. erf z -* 1 ^z оо в области | arg z I < ^ j -Максимум и точка перегиба интеграла Досопа (см. [7.31])
F(x) е~''^epdt.
7.1.17. F(0.92413 88730...) = 0.54104 42246...
7.1.18. F(1.50197 52682...) = 0.42768 66160...
Производные
,/1-,1 2 !
7.1.19. —-erfz = (-l)»-T=ff.(z)e~'
dz«*1 V"
(п - 0, 1, 2,...).
7.1.20. t»<»+a>(z) + 2zu><»«>(z) + 2(л + 1 )s>"(z) - 0
(л= 0, 1, 2,...), 21
iul°l(z) = Ie1C2), w'(z) = — 2 z;t-(z) +
О полиномах Эрмита Hn(z) см. в гл. 22.
122
7. ИНТЕГРАЛ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ИНТЕГРАЛЫ ФРЕНЕЛЯ
Связь с вырожденной гинергеометрической функцией (см. гл. 13)
7.1.21. erf г- -г») =
Vt U 2 J
V* I 2 J
Функция нормального распределения со средним значением т и стандартной дисперсией о (см. гл. 26)
"¦»¦ Tk 5 •-^¦"-¦Н'МШ-
Асимптотическое разложение 7.1.23. -Jnze'' erfc г ~ 1 + (- 1)'
I - 3 ... (2т —¦ 1)
(2z*r
Iz -. оо, [arg zI < —I. Если ряд оборван после н-го члена и IirAz) — его остаток,
7.1.24. SJz) - (- 1)"
1 ¦ 3 ... (2п - 1)
?z2)»
«О
6 =Je"' +
І в I < 1
(largzK^j.
Для действительных л остаток RJx) по абсолютной величине меньше первого отбрасываемого члена и имеет тот же знак.
