Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
Беря численные значения интерполяционных коэффициентов Ег(р), Eiip), Р2(р) и F4(p) из табл 25.1, находим
10% S27 = 0-473 (897І7 4302) + 0.061196 (22754) -
-0.012 (34) + 0.527 (89823 7113) + 0.063439 (22036) -
- 0.012 (39) = 89773 7193.
Кстати, из формулы Эверетта следует, что ошибка линейной интерполяции примерно равна
E3(P) По+F2(p) Ь% к -I [E3(P) + F2(p)J [8% + ?>%}.
Так как максимальное значение | Ef(p) + F2Cp) I на интервале 0 < р < 1 равно 1/8, то ошибка линейной интерполяции не превосходит
15"
¦ — І/.-Л -Л+АІ.
5) Ряды Тейлора В тех случаях, когда легко вычисляются последовательные производные табулированной функции, можно для интерполяция использовать разложение Тейлора:
(/х) - /О») + (X - Xo) +
2' 3!
Сначала вычисляем производные Zfjz-(^n) до тех пор, пока (и + 1)-й член ряда ни обратится с заданной точностью в нуль Затем подсчитываем сумму ряда при данном значении х. Для контроля полученных значений производных вычисляются по ряду табличные значения функции при
X — x-I И x = Л'1.
В настоящем примере имеем
/(х) = хехЕі(х), fix) = (1 + х-1) f(x) - 1, fx) = (1 + х-1) /'(X) - x^f(x), /"'(*) = (1+ х-1) fix) - 2 х~У(х) + 2х"3/(х).
Выполняя вычисления при X0 — 7.9 и х — Xu — 0 0527,
удерживая дополнительный ,десятичный знак в промежуточных результатах, получим f(x) 0.89773 7194.
5. Обратная иитерполяция. Меж,ту прямой и обратной
линейной интерполяцией нет принципиальной разницы. Для тех случаев, когда линейная интерполяция не обеспечивает достаточной точности результата, рекомендуются следуготгще два метода.
Первый метод. С помощью прямой интерполяции, например, по формуле Лагранжа составляется новая таблица с более мглким шагом в окрестности аппроксимируемого значения, затем применяется уже более точная обратная линейная интерполяция к субтабулированным значениям
Второй метод Используется формула Эйткена или ряд Тейлора, в которых функция и аргумент взаимно меняются ролями.
Слздуег отметить, чго точность обратной интерполяция может быть совгрщгнно отлична от точности прямой. В частности, это имеет место в областях, где функция медленно изменяется, например, вблизи максимума или минимума Точность, достижимая при обратной интерполяции, может быть оценена с помощью формулы
Дх « Afi
где Af — максимальная возможная ошибка в значениях функции /. 10
Пример. Дано XexEi(X) = 0.9 Найти х из таблицы на стр. 8.
1) 0>рсипная линейная инт:р юляция. Значение р находится но формуле
P - (Л - Л)(Л -/о).
0.9 - 0.89927 7
0.9ЭЭ2Э 73Э5 — 0.89927 7 888 101 9418 Следовательно,
x-jco-Mxi - X0) =* 8.1 + 0.708357(0.1) = 8.17083 57.
Оценим возможно ошибку этого результата. Напомним, что максимальная ошибка прямой линейной интерполяции в этой таблице равна Af= 3- Ю-13. Приближенное значение dfldx дается отношением первой разности к интервалу по аргумгиту (см. гл. 25), равному в данном случае 0 010. Таким образом, максимальная ошибка в значении X равна приблизительно 3 • 10-u/0.010, т.е. 0.0003.
2) Метод субтабулирования. Для уточнения полученного приближенного значения X выполним прямую интерполяцию при р = 0.70, 0.71 и 0 72 с помощью шп т очечной формулы Лагранжа:
* Xe1El(X) S 8s
8.170 0 89999 3683
8.171 0.90000 3834 10151 -2
8.172 0.90001 3983 10149
Обратная линейная интерполяция в этой таблице дает
0.9 - 0.89999 3683
• 0.6223.
0.00001 0151 Следовательно, х = 8.17062 23.
Максимальная ошибка эгого результата равна
ДГ/
dx
0.010
= 1 • 10"'.
3) Метод Эйткена. Вычисления выполняются по такой же схеме, как при прямой интерполяции.
уя ¦¦ xexe1(x) Хя хо.п *0.1 я xq.i.i.п *0,1,3,3 и уп — у
0 0.90029 7306 8.2 0.000297306
1 0.89927 7888 8.1 8.17083 5712 -0.000722112
2 0.90129 6033 8.3 8.17023 1505 8.17061 9521 0.001296033
3 0.89823 7113 8.0 8.17113 8043 2 5948 8.17062 2244 -0.001762887
4 0.90227 4695 8.4 8.16992 9437 1-7335 4И 8.17062 2318 0.002274695
5 0.89717 4302 7.9 8.17144 0382 2 8142 231 265 -0.002825698
Максимальная ошибка ответа такая же, как в метоле субтабулирояаиия. О точности можно судить также но количеству совпадающих знаков результатов двух высших интерполяций, в данном случае До.і.г.з.« и -^0.1.2.3.5-
6, Двумерная интерполяция. Дпумсриая интерполяция обычно выполняется как последопателы гость одномериых. Сначала проводная интерполяция по одному аргументу для нескольких табличных значений второго. Полученные значения контролируются с помощью разностей. Затем проводи [ся интерполяция по второму арг>мепгу.
3качения аналитических функций комплексного переменного часто вычисляются другим методом, а именно, с помощью разложения в ряд Тейлора. Конечно, этот метод применим лишь в том случае, когда нужные производные могут быть вычислены без особых трудностей.
7. Получение функций иі ргкурренгных соотношений. Многие специальные математические функции, которые зависят от параметра, называемого их индексом, порядком или степзныо, удовлетворяют линейному разностному уравнению (или рекуррентному соотношению) относительно этого параметра Примерами могут служить функции Лежандра Рп(х)У Бесселя Jn(x) и интегральная показательная функция Ец(х), для которых имеются соответствующие рекуррентные соотношения
