Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
¦) ф' называют тригамма-функцией; ф", ф|3>, фС«) — соответственно тетра-, пента- и гексагамма-функциями (см. сноску на стр. 84). 86
6. гамма-функид1я,й родственные ей функции
Значения при целом аргументе
6.4.2. ф(Ч(1) - (-1)*Ми!«л + 1) (л = 1, 2, 3, ...).
6.4.3. фИ(л + 1) = (— 1)т т! [-IXm +1)+1 +
Jt+...+ -Ч
»+1 л» I'J
2™-
Зваченкя при дробном аргументе
6.4.4. ф<"> JJj - (- 1)»»> л! (2"« - 1) Кя + 1)
(« - 1, 2, ...).
6.4.5. ф' Jil + J J = J т.3 _ 4 ^ (2к ~ 1)-».
Рекуррентная формула
6.4.6. ф(»)(г + 1) = ф(»>(г) + (-О^ліг-л-1.
Формула симметрии
6.4.7. ф<")(1 - г) + (-1)»>4<">(z) -
= ( — I)" п-clg TZZ.
dzn
Формула умножения
6.4.8.
ф(»)(т.-)-8 In т+ —!—V ф'*1 Г,+ ±1.
»•"й I mj
g t 1 при п = I 0 при п ;
= O1 і > 0.
Разложения в ряд
6.4.9.' ф(»>(1 + г) = (-1)"«|п! С(л + 1) -
<» +JH. «„ + 2) г + Jn±?Lu„ + зу _...]
1!
2!
(I2I < 1).
CU
6.4.10. ф(я)(г) = (— l)»+i л! (г+ Л)-»-1
(z/0, -I, -2, ...). Асимптотические формулы
6.4.11. ф(»'(г) ~ (-1)-' I + ^r +
„„[tJl -]
+ Vait + " , l)!-| (z -. Oo, I arg 21 < тс).
6.4.12. ф'(г) ~ - + — + -Л---Ц- +
Т z 2z« 6z" ЗОг5 42z'
- + ... (r oo, j arg г I < я).
6.4.13. ф'(г)-----J---1 - + '---L +
Y z» z» 2z4 6z« 6z
4--~------f- ... (z да, !arg z| < ті).
IOzD 6z"
7 T 9 1 d
6.4.14. ф|3,(г) ~ + і + — _ — + — -
z3 z* zs z' 3z«
3 10 , ,
• — + — -¦•• (z - OD, largz] < 7t).
z11 z13
6.5. НЕПОЛНАЯ ГАММА-ФУНКЦИЯ (см. также 26.4)
6.5.1. Р(а, X) = С erH*-4t (Re а > 0).
Да) J о
6.5.2. х) - Р(а, х) Г(а) - J e~lta-4l (Re а ^ 0).
оэ
6.5.3. Г (а, х) = Г(я) - у(а, д) = ^ е'-іа~Чі.
6.5.4. Y= х~пР(а, х) =-у(а, х), у* является
Г(о)
однозначной аналитической функцией переменных а и х и не имеет особых точек в конечной части плоскости.
Интеграл вероятностен /^-распределения X8 V . t
6.5.5. Р(х11 V) = -
6.5.6. 1(и, р) -
f2 * 2 dt.
Ii)'
«-/FTi
Г(р + 1)
= р(Р + 1, и VP + і)
(неполная гамма-функция в форме Пирсона). 6.5.7. СОс, а) - § Iа-1 cos I dt (Re а < 1). 88
6.5.8. S(x, a) = J t"-1 sin I dt (Re a < 1).
6.5.9. EJx) = J tr»r'dt = X'-1 Г0 - n, x).
6. гамма-функид1я,й родственные ей функции
Производные и дифференциальные уравнении " c-4t
6.5.10.
e-"t'dt = х-"-' Г(1 + л, X).
6.5.11. е„(х) - V — ¦
,«Я
Неполная гамма-функция как частный случай вырожденной гипергеометрнческой функции (см, гл. 13)
6.5.12. YCа, X) = tS^xa«r*M{\> 1 + д, х) =»
= (T1XTMia, 1 + о, -х).
Частные значения
6.5.13. Р(я, х)~ 1 -fl-f-x+ — +...+ **"'
I 2! (л- DlJ
— 1 — Єп*-і(х) Связь с распределением Пуассона см. в 26.4.
6.5.14. у »(-л, х) = х".
6.5.15. Г(0, х) = J S-T1H - E1(X).
6.5.16. у . XaJ = 2 ^ = V" erlx.
о
6.5.17. Г . X1J _ J ^ е-сЛ = ^gerfcx.
6.5.18. і Vrar* ^ • - = ^ "''it-
о
Як»
6.5.20. Г (а, ix) = е2 [С(х, а) - а)].
Рекуррентные формулы
6.5.21. Р(о + 1, х) » Р(а, х) -
Г(а + 1)
6.5.22. у (а + 1, х) = try(о, х) - х"<г*
6.5.23. Y*(O - 1, х) = хгЧа, х) + .
Г(а)
6.5,
i24. firl)
I 0а JK=o ) І
- In X =
= — Еі(х) —• In х.
6.5.25. = _ gTfa *) „у-^-.
Sx Sx
6.5.26. - [х-"Г(д, х)] - (-1)" х-"-» Г (а + л, х).
Sx"
(л = 0, 1, 2,...).
6.5.27. -[AaYtCo, х)] = A0-nYtCa - л, х)
Єї»
(л-0, 1, 2,...).
SaV* Sv*
6.5.28. X -L- + (а + 1 + х)—!— + OYt -
Sx' »X
Разложения в ряд
m Zn
6.5.29. YtCa, 2) = е-2 У4---=
= -- У4 ("г)~ (I--KO0). Г(а) hi(a + n)nl
6.5.30. Y(а, X + у) - Y(a, х) =
= Л— VJ (а — 1) (я — ... (а — л) п _ ^wj
(Ij-I < I*О-
Разложение в непрерывную дробь
6.5.31. Tfe х) - rt-f-L І^Л J-...1
+ 1+ л+ 1 + *+ /
(х > О, I а I < со). Асимптотические разложения
6.5.32. Г(а, z)~z"-%-' 1 +--I-
O-I , Ca— 1) (о—2)
^z —* оо, I arg г| < ---J ¦
Пусть z) = и,,.-Ja- z) + ... — остаточный член это-
го ряда. Тогда, если о, z — действительные, для л > о — 2 имеем
I RJa, z) I < I и»+,(о, z) I
в
sign RJa, z) = sign Кй+і(а, z).
"- / _ і v/i
6.5.33. Y(a, г) ~ V i—ll^- (a - +oa).
fea (a +")"! 6.7. использование и расширение таблиц
89
6.5.34. Iim ?гМ=| 1/2 . .
я-МО с"» • '
0, а > 1,
1/2, к -
1, 0 < > < 1.
-і/з
+1+
V2tu 1
(г -. 00, I arg г| <-=-)
Определенные интегралы 6.5.36. ( е-" Тф. cc)di = і® Гі---І—І
З a L (в+ с)» J
(Re (а + с) > 0, Re i> > -1).
6,5.
.37.
(Re (а + ?) > 0, Re о > 0).
В*(а, «"-»(l - O6-1A.
6.6.2. IAa, Ь) - В»(а, &)/В (а, і). Статистические приложения см. в 26.5.
Симметрия
6.6.3. «я, г>) = 1 - Z1-^i, а).
Связь с биномиальным разложением
6.6.4. [„(а, п-а+1) ~ ( " ) ~ ~'¦ Биномиальное распределение см. в 26.1.
6.6. НЕПОЛНАЯ БЕТА-ФУНКЦИЯ
Рекуррентные формулы
6.6.5. Ua, Ь) = XlM - 1, Ь) + (1 - х) U(a, b - 1).
6.6.6. (а + Ъ - ах) Ш, Ь) -= а(1 - х) Ца + 1, 6 - 1) + ЫЛа, Ъ + 1).
6.6.7. (а + Ъ) 1,(a, W = aIAa + 1, Ь) + Ых(а, 6 + 1).
Связь с гипергеометричеекой функцией 6.6.8. Я»(я, 6) = rt'f(i, 1 - Ъ\ а + 1; х)
