Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
6.1.37. e-V-4%lTif"> [l + — + J--
L 12г 288z
139 571
" 518402s
:488320г4 J (z ^ со, Iargrl < 7t).
6.1.38. xl - VSix'*11' exp^-x +
(x > 0, 0 < 0 < 1). Асимптотические формулы
6.1.39. Г(ог + Ь) ~ <г"(.аі)"*ь-г!'
(I arg г I < it, а > 0).
6.1.40. In Г(г)'
In Z - г -)--In (2it) +
2
+ E -2„
2т(2т — У)^™-1 (z — оо, I arg г I < к), где Bam — числа Бернулли (см. гл. 23).
6.1.4J. Jn Г
-R)
In z - z + — In (2л) + 2
12z
1
1 1___
360га 12502й 1680z'
+ -
(z -. oo, 1 arg z I < тг). Остаточный член асимптотического разложения 6.1.42. Еслв =- In Г(г) — ^z- j In z + г — 1
- In(ZTr) -2 '
I K(z)
І2т(1т- 1)2'"-1 > где Ktj)- иерхняя
то |A»(z)| =S і-
(2л + 1)(2,, + 2)|z|«»+'
грань 1 г'/(ы® + z'-') | при и > 0.
Для z, действительного и положительного, Rn по абсолютной величине меньше первого отброшенного члена и имеет тот же знак.
«.1.43. Re In Г(,» =» Re In Г(-і» =
= - In Г—--] ~ і In (2іт) - ~ ку - і In у
2 \у&пу) 2 2 2
(у + со).
6.1.44. Im In Г(,» = arg T(Iy) — -argr(-i» -
— —Im In ГС—(Jt) ~ j In j — у--те —
4
-E
(-D-1Si,
(2п- 1)(2п)у»~'
(у + а>).
6.1.45. lim (27t)-1" І Г(* + iy) ] e*''1'21 у [««-* = 1.
6.1.46. 1.
Г(п + Ь)
6.1.47. Il±± ~ 1 + !'-*)(" + *-'). + Г(г + 6) 2z
U'V)
(3(?Г + 4-1)'-а + Ь-1)—- + •
+ со вдоль некоторой кривой, соединяющей 2 = 0 и = со; при этом z ^ —я, —а — 1,...; z Ф —Ъ, —Ь — 1,—
Разложение в непрерывную дробь
6.1.48. In Г(;) + z - ' 1 1 ' 1
= ^ a, Oi (Rez>0)>
Z+ Z+ Z+ Z+ 2+ Z + ...
--L =_L =u 195 12 ' 1 ~ 30 ' 1 210' 03 — 371
22 999 29 944 523
а =- , с*. - -----------.
22 737 19 733 142
109 535 241 009 " 48 264 275 462
Формула Валласа *)
1-3-5...(2,1-1)
X dx ---
cos) 2-4-6...(2л)
-ЧИ
(2л)
2Рп(п!)'
Г (,1 + 1/2) ^'»Цл + 1) '
і!)3 _гЦ л"
--1---Гі - — +—!--J („-,«,).
п1'W L 8л 128л» J
*) Иногда используется обозначение с двойным факториалом:
(2л)П = 2-4-6... (2л) - 2»и!, (2и - 1)1! — 1 - 3 ¦ S ... (2п — О = іГ1яг»Г (" + jJ- 84
6. гамма-функид1я,й родственные ей функции
Некоторые определенные интегралы (Re z > 0)
as
6.1.50. in T(z) = J - ') ~ -llfT] —'
InT(Z)
¦К)
In z — z H--In 2тс +
2
+ п-
Г !lICLuK.'r)
J C5s^T
6.2. БЕТА-ФУНКЦИЯ
6.2.1. B(z, і») = ^!'-'(1 - ()"-1 Л = j ''yw Л = 2 j (sin 'У" ^as J Л (Re z > Re » > 1)-
6.2.2. B(z, „І-ШІМ^В^, z). Г(г + »)
6.3. ПСИ-ФУНКЦИЯ (ДИГАММА-ФУНКЦИЯ) ')
6.3.1. iRz) = -
d[In Г(г)] Г'(Z)
rfz
T(Z) но
Значення при целом аргументе
6.3.2. ф(1) = -т, ф(я) = -г + S ?-1 (и > 2).
А-1
РисТб.2. Пси-функция У=, ф(*)= </1пГ(*)/Ле.
6.3.3. ф
при дробном аргументе Y — 2 In 2 = -1.96351 00260 21423...
6.3.4. ф|
(І)"
("+1) ™ ~Y ~ 21п 2+2('
(.п » 1).
Рекуррентные формулы I
6.3.5. ф(г + I) - Ш + Л
6.3.6. ф(л + г)= 1
(л- 1)+2 („_2)+Z
1 1 , „
... + - +--+ Ф(1 + Г).
2 + z 1 + z
Формула симметрии
6.3.7. ф(1 - z) = ф(г) + - ctg -Z.
Формула удвоения
6.3.8. +(2z) ,= І ф(і) + А ф Jz + Ij + In 2.
Пси-функции комплексного аргумента
6.3.9. ф(z) - ф(г).
6.3.10. Re ifOj;) - Re ф(- ty) - Re ф(1 + iy) =
- Re ф(1 - iy).
•) Иногда употребляются обозначение ф(г)= — Iti J Vz -Ь 1) и аналогичные обозначения для полигамма-функций.
dz 6.4. полигамма-функции
85
6.3.11. Im Ф(І>') = — JT1 + — Я Cth ну.
2 2
6.3.12. Im ф Jy + '>' J = -J % th "У-
6.3.13. Im ф (1 + і» =--— + — Tt cth Tiy=
2 у 2
~ у ¦?(„'+ /)"'. и— 1
Розложеиия S С It'll сілкій ряд
6.3.14. Ф(1 + г) = -V +?;<-!)» Wb)!"-1 (IzlCl).
6.3.15. ф(1 + z) - і z"1 - I я ctg Ttz - (1 - z3)"1 +
+ 1 -Y -?[?(?+ 1)-l]zs" (.| z I <2).
6.3.16. ф(1 + z) = - у +
SA n(n + z)
(z * -1, -2, -3, ...).
6.3.17. Re ф(І + ly) = 1 - Y--'--h
1 + /
+ ?(-l)"«[№+ 1) - 1]/» (I JK 2),
Re ф(1 + iy) - - у + f Yj л" V + /Г1
( — CO < y< oo).
Асимптотические формулы 6.3.18. ф(г) ~ In г - — - f" -
= lnz_ і___L4. _!_ _ _J_+
112 2 z 12z» 120z' 252 z«
6.3.19. Re ф(і + iy) + Т =
SA 2"У"
*=in у + —'— + — н—!—¦ +... о» x). 12 JJ 120 252/
Экстремумы Г(л') — нули ф(х) (см. [6.7])
!"<*») = «х») - о
и Г(*„) я xn ГСд-rt)
,0 +1.462 + 0.886 4 -3.635 + 0.245
1 -0.504 -3.545 5 -4.653 -0.053
2 -1.573 +2.302 6 -5.667 +0.009
3 -2.611 -0.888 7 -6.678 -0.001
Jt0 = 1.46163 21449 68362, Г(х0) _ 0.88560 31944 10889. 6.3.20. X, - —л ,+ (In и)""1 + е[(1я пП Определенные интегралы
(О
6.3.21. «,) yf^J Л
0
(Re z > 0),
ф(2) - Іп'ї- J- - 2 ^
((2 + Zs) - 1)
(z -J- оо, I arg z| < те). [
6.4. ПОЛИГАММА-ФУНКЦИИ *)
Jlargzl < ^J-
00 1
6.3.22. ф(г) +Y=C " ' " dt ={ ' ~ dt,
1 1-е-' j 1-(
о о
НЫт-^Н^Ит-
Jn JnH
6.4.1. ф(»)(г) - — ф(г) = --In Г(г) -
dz" dz"*1
= (-1)"+1
7 Pr"
J 1-е-'
dt (п = 1, 2, 3,...), (Rez> 0),
ф(в)(г) (jj = 0, 1, ...) является однозначной аналитической функцией на всей комплексной плоскости z, кроме точек z = Л! (tn = 0, 1, 2, ...), где она имеет полюсы порядка п + 1.
