Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
Целые числа X — (Am ¦•• ЛіА0)ц>)
(I) Арифметика в Ь-с и с т е м е. Переведем число Ь в /»-систему и определим
Xjb = X1 + A'Jb, XJb = X2 + Ar-Jbf
Xj7Jb — О + A'-fb,
где Я'0, At1,.... A'- — остатки и X1, X2,..., X- —частные (и 6-сястеме) при делении Х,ХЪ .,.,Z-^i соответственно на Ъ в /«жстеме. Затем переведем остатки в 6-систему
(^в)(Б> " (li\b) = А.....= A-
и получим
X = {A- ... A1A0)^.
(II) Арифметика в Ь-с и с т е м е. Переведем b и A0, Av ...,Am R /»-систему и определим, используя арифметические операции в і-системе,
Xm-I = ЛтЬ-\- Am-,,
Xm-Z = Xfn-i b + A m.-Si
Тогда
X1 = Хф -I- A1.
X = ХгЬ + A0-
Правильные дроби д: = (o.a-jO-s •¦¦)(&)
Для го го чтобы перевести в систему b ф b правильную дробь х, заданную с точностью п знаков в /»-системе таким образом, чтобы обратный перевод из /»-системы дал те же самые п округленных знаков в ?»-сисіеме, представление X в /»-системе должно быть получено с точностью в її округленных апакоя, где п удовлетворяет условию Ъ > Ьп.
(ILl) Арифметика в 6-сист еме. Переведем Б в /»-систему и определим
xb = Xi + й'_ь
Х\Ь — хг + 21а,
Xn-ib хп + ^-я» где 5-і, TiL2,,.., Qjji — целые части л хІУ ха,дг^ — дробные части (в ^-системе) произведений xb, хф,соответственно. Затем переводим целые части а ^-систему,
(IV) А р и ф м_е т и к a R Ь-систем е. Переведем b и й-], о_2,о п в o-систему^и определим, используя ариф-метические операции в /»-системе,
+ а..,
-T-I •= — + O-j • b
ПРИМЕРЫ
В примерах Tvfbr ограни шмея системами с основаниями 2,8, IO BBVijiy и.ч важности для ЭВМ.
Заметим, что восьмиричная система является степенью двоичной. Действительно, восьмеричный знак соответ-сівует тройке двоичных тігаков. Поэтому двоичная арифметика может быть использована іхякик раз, когда число нужно перемести в восьмеричную систему или оно дано в восьмеричной системе и должно быть переведено в какую-нибудь другую.
Десятичная 1234567 8 9 10
Восьмеричная 123 4 5 б 7 JO 11 12
Двоичная 1 10 11 100 101 110 111 1000 JOOl 1010
П ример 1. Перевести X ~ (1369)(jq) в восьмеричную систему. Применим метод (I)1 положив b — 10, Ь = 8(10) и используя десятичную арифметику. Находим
_,„+!. Ill = 2! + - ,
8 8 8 8
* -2+1. 1 = 0 + 1..
таким образом,
X ~ (2531)(8).
?1 — ПОД РЄД. В. А. Диткитгя .TT Mf Wqi802
28. системы счисления
По методу (И) имеем Ъ = (12)(8) и A3 = 1 св>» A2 = 3,8), Лі -- ,, /I;, -- П 1 Следовательно, используя восьмеричную арифметику, находим
Xa - 1- 12 + 3 - (15)(8), Z1 = 15- 12 + 6 = (210),8),
X — 210* 12 + U =(2531)(,).
Используя двоичную арифметику, по методу (II) подучим, что /) = (1010),,), A = I(J), A-(Ufo), A-C "%>• Таким образом,
X1 = 1 ¦ 1010 + 11 = (IlOl)al,
X1 = 1101- 1010 + 110 = (10 001 000),аь
X = 10 001 000- 1010 + 1001 = (10 101 OU OOlfo),
откуда, переходя к восьмеричной системе, получаем X = (2531),8).
Пример 2. Перевести X = (2531)(8) в десятичную систему. По методу (1) имеем Ъ - 10 = (12)(8) и> используя восьмеричную арифметику, находим
2531/12 = 210 -1- 11/12,
210/12=15 + 6/12,
15/12 - 1 + 3/12,
1/12=0 + 1/12.
Переходя тс десятичной системе, получаем
A0 = (11),8) = 9, A = 6(8) = 6, A = 3(8) = 3, A = 1 и, таким образом, X = (1369)(10).
Применим теперь Meiод (II). Имеем b --- 10, а восьмеричные цифры числа X не меняются при переходе к десятичной системе. Следовательно, используя десятичную арифметику, получаем
Xi = 2-8 + 5 =(21)(10ь
XI = 21 • 8 + 3 = (171)(10), X = 171 ¦ 8 + 1 = (1369)(1(,).
Используя двоичную арифметику, по методу (Il) имеем 4 = 8= (IOOOfo) и Aq = 1, А = (lifo), А = (IOl)(J), A3 = (IOfo).
Тогда
Xa = 10- 1000 + 101 = (10 101)в>,
XI = 10 101 • ЮОО + 11 = (10 101 ОН)»,
X = 10 101 011 ¦ 1000 + 1 = (10 101 OU 00))(3,. Переводя это число в десятичную систему, получаем X= (1369)(1М.
Заметим, что в обоих приведенных примерах восьмеричная арифметика использовалась в качестве промежуточного шага при переводе заданного числа в двоичную систему согласно правилам метода (II). Вместо этого можно данное число перевести сначала в двоичную систему, и тогда согласно методу (!) может быть применена непосредственно двоичная арифметика для перевода заданного числа из двоичной системы в требуемую.
Например, переводя X = (2531fo) в десятичную систему, находим сначала X (IUlI)IO JldOO,-; и затем, используя метод (I) при A = 10 (1010)(,), получаем 10 101 OU 001/1010 - 10 001 000 + 1001/1010, 10 001 000/1010 = IlOl + 110/1010, 1101/1010 - 1 + 11/1010, 1/1010 =0 + 1/1010. Переводя теперь в десятичную систему, имеем
Ль = (1001),,) =9, A1- (ПО),,, = 6, At = (lifo, = 3, А, = 1,
откуда
X = (1369),,0). Пример 3. Перевести X = (0.355)I1Q) в двоичную систему. Переводим тто число сначала в восьмеричную систему, используя десятичную арифметику. По методу (III), полагая 1> — 8, находим
(0.355)-8 = 2 + 0.840, (0.080)- 8 = 0 + 0.640, (0.840) -8 = 6 + 0.720, (0.640) • 8 = 5 + 0.120, (0.720)- 8 = 5 + 0.760, (0.120)- 8 = 0 + 0.960, (0.760) -8 = 6 + 0.080, (0.960) -8 = 7 + 0.680,