Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
Таблица 6.8. Дигамма-функция комплексного аргумента ...................... 112
Ф(* + іу), X і 1(0.1) 2, у = 0(0.1) 10, 5D; Re ф(1 + iy), 10D;
Re Ф(1 + iy) ~ In У, У1 - 0.11(-0.01)0, 8D. Литература .................................................................... 1186.1. гамма-функция
6.1. ГАММА-ФУНКЦИЯ
Интеграл Эйлера 6.1.1. Г(г) = j dt (Re 2 > 0),
Г(г)«
: J tz-le-h, dt (Re г > 0> Re k > o)
Формула Эйлера
6.1.2. Г(г) = lim
(г* 0, -1,-2,
0Z(Z+ I) ...(Z + И) Бесконечное произведение Эйлера
6.1.3. = -f. Aj Qzl <oo),
Y = hm Гі + - I + 1 + ... +
«-»¦=o L 2 3 4
+ — - Inml ='0.57721 56649 ...,
m J
Y — постоянная Эйлера, се числовое значение дано в гл. 1 с 25 десятичными знаками. Г (г) является однозначной аналитической функцией на всей комплексной плоскости, исключая точки z = —п (п = 0, 1, 2, ...), в которых она имеет простые полюсы с вычетами, равными (—1 )njn\. Обратная Беличина 1 /Т(з) — делая функция, обладающая простыми нулями в точках z = —п (п = 0, 1, 2,
Контурный интеграл Ханкеля
6.1.4. —— » — & (— /)-г e~l dt (I zl < со). Путь ин-Г(г) 2тг 3
с
тегрирования С начинается от + се, идет по действительной оси, обходит начало координат против часовой стрелки и !»обращается в исходную точку.
Факториал и П-обозначеиие
6.1.5. II(z) =zl - Г(z + 1).
Целые значения аргумента 6.1-6. Г(и + 3) = 1 -2-3 ... (п - 1) п - и!. 1 л 1
6.1.7. lim :
- = 0 = -
*-»« Г(-г) (—л — 1)!
Дробные значения a PnnVieHTa
(п = 0, I, Ii...).
6.1.9. Г
11) І
о
GH *
<'Л - = 1.77245 38509 .
- 0.88622 69254 ...
-HY
Й
Рис. 6.1. Гамма-фушсция:
—J - гад, — у = 1/rw.'
6.1.10. Г In +
1
¦ Г^,+
г
1 1- 5- 9- 13 ...
4»
)
I"-
(4п - 3)
4»
= 3.62560 99082...
Ii
G)" 1-і)"
з»
2.67893 85347 ... 1 • 3- 5- 7... (In - 1) .
'(І)
5-8-П ...(3*^1)Г{2-I 3 J 3» Із.
1.35411 79394...
rG)=
, ( + 3 1 = 3 ¦ 7• 11 • 15 ... (4п — 1)гр I 4 J 4» [4
rG)=
6.1.15.
6.1.16.
¦ 1.22541 67024 ...
Рекуррсшные формулы
Г(г + 1) = ZT(Z) = z! ~ z(z - 1)1. Г(л + г) и (п - 1 + z) (л - 2 + г) ... ...(1 +г)Г(1 + г> — (и — 1 + г)1 —
= (п - I + г) (п - 2 + 2)... (1 + г)г!82
6. гамма-функид1я,й родственные ей функции
Формулы симметрии
6.1.17. T(Z) Г(1 - г) - - гГ(-г) Г(г) - it cosec ire,
Г(г) Г(1 -2)-( f ' Л (0 < Re г < 1).
J 1 + 1
D
Формула удвоения
6.1.18. Г(2г) - (їтї)-*>У~™Т(г)Т ^z + Ij ¦
Формула утроения
6.1.19.
I. Г(3г) (2*)"13"-1" T(Z) Г ^ + I j Г |г +1 j •
Формула умножения Гаусса
6.1.20. Г(пг) = (2h)!1-»"»«»"« TT rfz + -].
j-o I ">
Биномиальный коэффициент
U.2,. (*]-—
I. W ) wl(z —
TCz + 1)
W)! Г(і» + 1) T(z - w + 1)
Символ Похгаммера
6.1.22. (Z)0 I, (z)„ = zfr + 1) (z + 2) ... (z + я - 1) -
T(Z)
Гамма-функция комплексного аргумента
6.1.23. Г(і) = F(Z)1 In T(z) = In r(zj.
6.1.24. arg T(z -J- 1) = arg Г(г) + arclg — ¦
X
?.1.25. ІП* + W I' - П Гі +-у-—]"' ¦
I Г(х) I if, L (х+л)».|
6.1.2«. |Г(х + ,>)| S |Г(х)|.
6.1.27. arg Г(х + iy) = j-iKx) + у- --
айн
- arctg —^—I
X + n)
U + іуФ 0, -I, -2,...), где i|i(z) = r-(z);T(z).
6.1.28. Г(1 + iy) - Iy T(iy).
6.1.29. ГО^Д-ад-іГО»!2
у sh Tty
6.1.30. r(I + „)r(I-f,)-|r(l+„)[
6.1.31. Г(1 + !»ПІ - iy) - |Г(1 + iy)? - -?-.
sh 7-у
6.1.32. г fl + /Л rfl - ;Л - -, .
14 J 14 ch Tiy 4- і sb Tty
Разложение в ряд
6.1.33. In Г(1 + z) = - In (1 + z) + z( 1 -y) +
+ ? (-1)»[ї(„)- 1] z'ln (I z I < 2),
и-2
?(н) — дзета-функция Римана (см. гл. 23).
Разложение в степенной ряд для 1/Г(г) *)
1
T(Z)
-J^V1 (Izl < оо).
Ck
ch тт у
1 1.00000 00000
2 0.57721 56649
3 — 0.65587 80715
4 - 0.04200 26350 0.16653 86113
-0.04219 77345 -0.00962 19715 0.00721 89432 -0.00116 51675 -0.00021 52416 0.00012 80502
12 -0.00002 01348
13 -0.00000 12504 0.00000 11330
-0.00000 02056 0.00000 00061 0.00000 00050 -0.00000 00011 0.00000 00001 0.00000 00000 -0.00000 00000 0.00000 00000 -0.00000 00000
24 -0.00000 00000
25 0.00000 00000
26 0.00000 OOOOO
5
6
7
8 9
10 11
и
15
16
17
18
19
20 21 22 23
000000 015329 202538 340952 822915 555443 278770 466630 918591 741149 823882 547807 934821 272320 338417 160950 020075 812746 043427 077823 036968 005100 000206 000054 000014 000001
Аппроксимация многочленами (см. [6.5]) 6.1.35. 0<i5 1, Г(х + 1) = xt = 1 + ад + OaXa +
+ HaXs + ^1X4 + AjXs + е(х), I S(X)I s; 5- 10-« Ol - -0.57486 46, и, - 0.42455 49, at = 0Г95123 63, ай - -0.10106 78. о, - —0.69985 8S,
*) Коэффициенты Ck взяты из таблиц [6.12], Учтены исправления, сделанные Солзером.6.!. гамма-функшя
s3
?.1.36. О < л < 1,
Г(х + 1) = Xi - 1 + hx + A3J.' + ... + Vr8 + e(jr), I ?(*) I S 3 ¦ IO-', J1 „ -0.57719 1652, Js = -0.75670 4078, = 0.98820 5891, t, •= 0.48219 9394, Ja = -0.89705 6937, 4, =. -0.19352 7818, S1 = 0.91820 6857, b, = 0.03586 8343. >
Формула Стирлшга