Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Абрамович М. -> "Справочник по специальным функциям" -> 46

Справочник по специальным функциям - Абрамович М.

Абрамович М. Справочник по специальным функциям — М.: Наука, 1979. — 832 c.
Скачать (прямая ссылка): spravochnikpospecialnimfunkciyam1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 480 >> Следующая


Таблица 6.8. Дигамма-функция комплексного аргумента ...................... 112

Ф(* + іу), X і 1(0.1) 2, у = 0(0.1) 10, 5D; Re ф(1 + iy), 10D;

Re Ф(1 + iy) ~ In У, У1 - 0.11(-0.01)0, 8D. Литература .................................................................... 118 6.1. гамма-функция

6.1. ГАММА-ФУНКЦИЯ

Интеграл Эйлера 6.1.1. Г(г) = j dt (Re 2 > 0),

Г(г)«

: J tz-le-h, dt (Re г > 0> Re k > o)

Формула Эйлера

6.1.2. Г(г) = lim

(г* 0, -1,-2,

0Z(Z+ I) ...(Z + И) Бесконечное произведение Эйлера

6.1.3. = -f. Aj Qzl <oo),

Y = hm Гі + - I + 1 + ... +

«-»¦=o L 2 3 4

+ — - Inml ='0.57721 56649 ...,

m J

Y — постоянная Эйлера, се числовое значение дано в гл. 1 с 25 десятичными знаками. Г (г) является однозначной аналитической функцией на всей комплексной плоскости, исключая точки z = —п (п = 0, 1, 2, ...), в которых она имеет простые полюсы с вычетами, равными (—1 )njn\. Обратная Беличина 1 /Т(з) — делая функция, обладающая простыми нулями в точках z = —п (п = 0, 1, 2,

Контурный интеграл Ханкеля

6.1.4. —— » — & (— /)-г e~l dt (I zl < со). Путь ин-Г(г) 2тг 3

с

тегрирования С начинается от + се, идет по действительной оси, обходит начало координат против часовой стрелки и !»обращается в исходную точку.

Факториал и П-обозначеиие

6.1.5. II(z) =zl - Г(z + 1).

Целые значения аргумента 6.1-6. Г(и + 3) = 1 -2-3 ... (п - 1) п - и!. 1 л 1

6.1.7. lim :

- = 0 = -

*-»« Г(-г) (—л — 1)!

Дробные значения a PnnVieHTa

(п = 0, I, Ii...).

6.1.9. Г

11) І

о

GH *

<'Л - = 1.77245 38509 .

- 0.88622 69254 ...

-HY

Й

Рис. 6.1. Гамма-фушсция:

—J - гад, — у = 1/rw.'

6.1.10. Г In +



1

¦ Г^,+

г

1 1- 5- 9- 13 ...



)

I"-

(4п - 3)



= 3.62560 99082...

Ii

G)" 1-і)"

з»

2.67893 85347 ... 1 • 3- 5- 7... (In - 1) .

'(І)

5-8-П ...(3*^1)Г{2-I 3 J 3» Із.

1.35411 79394...

rG)=

, ( + 3 1 = 3 ¦ 7• 11 • 15 ... (4п — 1)гр I 4 J 4» [4

rG)=

6.1.15.

6.1.16.

¦ 1.22541 67024 ...

Рекуррсшные формулы

Г(г + 1) = ZT(Z) = z! ~ z(z - 1)1. Г(л + г) и (п - 1 + z) (л - 2 + г) ... ...(1 +г)Г(1 + г> — (и — 1 + г)1 —

= (п - I + г) (п - 2 + 2)... (1 + г)г! 82

6. гамма-функид1я,й родственные ей функции

Формулы симметрии

6.1.17. T(Z) Г(1 - г) - - гГ(-г) Г(г) - it cosec ire,

Г(г) Г(1 -2)-( f ' Л (0 < Re г < 1).

J 1 + 1

D

Формула удвоения

6.1.18. Г(2г) - (їтї)-*>У~™Т(г)Т ^z + Ij ¦

Формула утроения

6.1.19.

I. Г(3г) (2*)"13"-1" T(Z) Г ^ + I j Г |г +1 j •

Формула умножения Гаусса

6.1.20. Г(пг) = (2h)!1-»"»«»"« TT rfz + -].

j-o I ">

Биномиальный коэффициент

U.2,. (*]-—

I. W ) wl(z —

TCz + 1)

W)! Г(і» + 1) T(z - w + 1)

Символ Похгаммера

6.1.22. (Z)0 I, (z)„ = zfr + 1) (z + 2) ... (z + я - 1) -

T(Z)

Гамма-функция комплексного аргумента

6.1.23. Г(і) = F(Z)1 In T(z) = In r(zj.

6.1.24. arg T(z -J- 1) = arg Г(г) + arclg — ¦

X

?.1.25. ІП* + W I' - П Гі +-у-—]"' ¦

I Г(х) I if, L (х+л)».|

6.1.2«. |Г(х + ,>)| S |Г(х)|.

6.1.27. arg Г(х + iy) = j-iKx) + у- --

айн

- arctg —^—I

X + n)

U + іуФ 0, -I, -2,...), где i|i(z) = r-(z);T(z).

6.1.28. Г(1 + iy) - Iy T(iy).

6.1.29. ГО^Д-ад-іГО»!2

у sh Tty

6.1.30. r(I + „)r(I-f,)-|r(l+„)[

6.1.31. Г(1 + !»ПІ - iy) - |Г(1 + iy)? - -?-.

sh 7-у

6.1.32. г fl + /Л rfl - ;Л - -, .

14 J 14 ch Tiy 4- і sb Tty

Разложение в ряд

6.1.33. In Г(1 + z) = - In (1 + z) + z( 1 -y) +

+ ? (-1)»[ї(„)- 1] z'ln (I z I < 2),

и-2

?(н) — дзета-функция Римана (см. гл. 23).

Разложение в степенной ряд для 1/Г(г) *)

1

T(Z)

-J^V1 (Izl < оо).

Ck

ch тт у

1 1.00000 00000

2 0.57721 56649

3 — 0.65587 80715

4 - 0.04200 26350 0.16653 86113

-0.04219 77345 -0.00962 19715 0.00721 89432 -0.00116 51675 -0.00021 52416 0.00012 80502

12 -0.00002 01348

13 -0.00000 12504 0.00000 11330

-0.00000 02056 0.00000 00061 0.00000 00050 -0.00000 00011 0.00000 00001 0.00000 00000 -0.00000 00000 0.00000 00000 -0.00000 00000

24 -0.00000 00000

25 0.00000 00000

26 0.00000 OOOOO

5

6

7

8 9

10 11

и

15

16

17

18

19

20 21 22 23

000000 015329 202538 340952 822915 555443 278770 466630 918591 741149 823882 547807 934821 272320 338417 160950 020075 812746 043427 077823 036968 005100 000206 000054 000014 000001

Аппроксимация многочленами (см. [6.5]) 6.1.35. 0<i5 1, Г(х + 1) = xt = 1 + ад + OaXa +

+ HaXs + ^1X4 + AjXs + е(х), I S(X)I s; 5- 10-« Ol - -0.57486 46, и, - 0.42455 49, at = 0Г95123 63, ай - -0.10106 78. о, - —0.69985 8S,

*) Коэффициенты Ck взяты из таблиц [6.12], Учтены исправления, сделанные Солзером. 6.!. гамма-функшя

s3

?.1.36. О < л < 1,

Г(х + 1) = Xi - 1 + hx + A3J.' + ... + Vr8 + e(jr), I ?(*) I S 3 ¦ IO-', J1 „ -0.57719 1652, Js = -0.75670 4078, = 0.98820 5891, t, •= 0.48219 9394, Ja = -0.89705 6937, 4, =. -0.19352 7818, S1 = 0.91820 6857, b, = 0.03586 8343. >

Формула Стирлшга
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 480 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed