Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
iifr-^C)'-
И. Соотношения.
A. Рекуррентные формулы:
affi - + С" ^ т > I),
B. Контрольные соотношения:
м«0
к=т
4P» - ?<-ц» (" - 1 + *] f 2" - j Sism4, \п — т + к) \п — т — к)
Л—я» к=т
C. Численный анализ:
~ <7<т)
Д»/(*) = w! у —/СП>С^>,
^W п!
если ряд СХОДИТСЯ.
E*"-2*'«г CT-
A=O A-0 ^
fci /? ЛЧ 1 - AT J
Ш. Аси м пт от и к а и частные значения, lira nr№oim> = (m I)"1,
°l»+m ~------для n =- o(ml'z),
2я«!
lim —-
аГ - Bon,
0(1) ^ 0(Я) J
И' 62»
629 24. КОМБИНАТОРНЫЙ АНАЛИЗ
24.2. РАЗБИЕНИЯ
24.2.1. НЕУПОРЯДОЧЕННЫЕ РАЗБИЕНИЯ I. Определения.
A. pin) — число разбиений целого числа к на целые слагаемые независимо от их порядка.
Например, 5=1+4=2+3=1+1+3=1+2+ + 2 = 1 + 1 + 1 + 2 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1, так что р(5) = = 7.
B. Производящая функция:
Е^«)*"- П о
= { E (-D"^"'+"1'2р' (|х| < I).
C. Явное выражение:
j ~ V(2/3) V« - 1/24J.
р(п)~—=J^lJkAM jT
7Г V2 fel dn
AM -
Jn - ]/24
Uk)- >
UiiW-
i(A, к) = j
J
J X — [х] — 1/2, если X — нецелое,
если X — целое.
II. Соотношения.
А. Рекуррентные формулы:
1<(3*>±*)/2<» I 2 I
P(O) - 1.
,,(„)_ 1 Y- C1(Ic) р(п- к). " t=i
В. Контрольное соотношение:
2 I4 2 J
III. Асимптотика.
т—Ц=^
4« л/Э
24.2.2. РАЗБИЕНИЯ С НЕРАВНЫМИ ЧАСТЯМИ I, Определения.
A. q(n) — число разбиений целого числа п на неравные целые слагаемые независимо от их порядка. Например, 5 = 1 4-4 = 2 + 3, так что ?(5) = 3.
B. Производящая функция:
Ё ?(-.)*" = п <' + х"> = П с - я™-1)-1 »-0 »-1
(Ixl < 1).
C. Явное выражение:
«(") -
где J^x) — функция Бесселя нулевого порядка, а А^к-Х(п) определено вІ.С предыдущего параграфа.
П. Соотношения.
А. Рекуррентные формулы:
E (_„»,(,,-»Lbj) _
№ « I,
если п = 3ra rfc г, противном случае,
= Jt-"'
10 в п,
«(") - ^ Е; j =,(« - г., ^lj j ф - к).
В. Контрольное соотношение:
^Ob противном с
E (
-г)! 2, случае.
IH. Асимптотика.
4 • З1'4 -пв,і 24.3.3. ФУНКЦИЯ 1,.11)
629
24.3. ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
24 3.1. ФУНКЦИЯ МЁВИУСА Определения,
т-
Jc-»',
о.
если и — 1,
ссли « — произведение к различных простых ЧИСС.'І, если и делится на квадрат целого числа > 1.
В. Производящие функции:
?>(«)""* = №) (Re s > I),
¦X (|х| <1).
U. Соотношения.
A. Рекуррентная формула:
(}і(т) іл(п), если (/«, «) = 1, 1>\тп) = і
[ 0, если (т, п) >1.
B. Контрольное соотношение:
C. Численный анализ:
SOO=Tfib
41»
для всех п тогда и только тогда, когда >-(d) g(n[d)
для всех л; d\n
*(«)- Пл<о
d\n
для всех п тогда и только тогда, когда /(я) = П S(ftId)it^ для всех л; d\n
Й.
six) = ?/(я/х)
для всех л: > 0 тогда н только тогда, когда /(*) =
™ S Ej-O') six In) для всех X > 0;
g(x) » ?/(«*)
h=i
для всех X >0 тогда и только тогда, когда,/)» ~Т> и(и)г(«х)
для всех X >0 и если
E і л™*) і - E 1/с»*) і
сходится.
Круговой многочлен порядка п есть JJ (Xlt — 1)14""'), 4«
111. Асимптотика.
И(»)
S -
E^1
In« = -1,
*
24.3.2. ФУНКЦИЯ ЭЙЛЕРА J. Определения.
А. ф(я) — число целых чисел, не превышаюших л и взаимно простых с ним.
В. Производящие функции:
Us - 1)
ад
„_,1-х" (I-Jt)* С, Явное выражение:
(Re s > 2), (U-K 1).
<К«) = ->П(1 - Up)-»I«
Произведение берется по различным простым р, делящим п. П. Соотношения.
A. Рекуррентная формула:
'р(тп) = 9(т) ф(н), (ж, м) = 1.
B. Контрольные соотношения:
?(»)=¦ У: v-wd) d, Ту»
««"> s !(mod и), (о, л) - 1. Ш. Асимптотика.
24.3.3. ФУНКЦИЙ auin) I. Определения.
A. сг(.(л) ~ сумма t-x степенен делителей л. Часто и0(л) обозначают через d(n) и C1OO через с(п).
B. Производящие функции:
- K(S) I (S - к) (Re s > к + 1),
я-1 b = i 1 — х 630
24. КОМБИНАТОРНЫЙ АНАЛИЗ
С. Явное выражение:
і -*(««+ і) „ і
<.,(«) = E^-П
aj« —' к -1
(и = Pi1Pp... Р°Л
II. Соотношения. А. Рекуррентные формулы:
at(mit) - <ч.("0("'. »)='. "l(»i>) = "«(") Ot(P) - Р*аМр) <.Р - простое). ІІЇ. Асимптотика.
- Vn ч»(га) = In п + 2ч - 1 + 0(П-1И) n ЙГІ
(у — постоянная Эйлера),
24.3.4. ПЕРВООБРАЗНЫЕ КОРНИ
I. Определения.
Целые числа, не превышающие данное число п и взаимно простые с ним, образуют группу; э та группа является циклической тогда и только тогда, когда п -¦=-- 2, 4, или п представимо в форме Plc или 2рк, где р "> 2 есть простое число, То і да число g есть первообразный корень числа п, если оно порождает эту группу, т.е. если g, г2,.... g'fi'u> различны по модулю я. Имеется 9 (о(л»первообразных корней числа п.
II. Соотношения.
A. Рекуррентные формулы. Если g—первообразный корень простого числа р и g1''1 ^ 1 (mod р-), то g — первообразный корень числа Pk для веек к. Если =1 (mod р2), то я + P— первообразный корень числа рк для всех к.
Если g—первообразный корета числа рк, го либо g, либо g -[- рк, а имзшю то из этих чисел, которое нечетно, является первообразным корнем числа 2рк.
