Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
C. Явные ьыраженни П. Соотношения.
A. Рекуррентные формулы
B. Соотношения для контроля вычислений
C. Основные применения в численном анализе
III. Асимптотика и частные зкачени
В большинстве случаев используемые обозначения стандартны. Это относится к разностному оператору Д (определенному для функции от х так:
-VVo- U-/(*), AihVW - А(Д"/М).
к дельта-функции Кронекера 8{j, к дзета-функции Римана s(s) и к наибольшему общему делителю (т, и). При суммировании, когда у знака суммы ас обозначены пределы, эти пределы указываются справа от формулы.
Обозначения нестандартны для мультиномиальных коэффициентов, для которых в эгой главе используются произвольные обозначения, а также для чисел Стерлинга, обозначения которых никогда не были стандартизованы.
Для чисел Стирлинга первого рода используется символ Sfimt для чисел Стирдиша второго рода — символ
24.1.1. БИНОМИАЛЬНЫ*: КОЭФФИЦИЕНТЫ
I. Определения.
A. I " I есть число способов выбора т предметов из U»J
24.1. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
С. Численный анализ:
собрания и различных предметов независимо от их порядка. В. Производящие функции:
(1 + хУ
(1 - х)-"-1 С. Явное выражение:
'-so-
СЬ
!!(11 - т)I
"I " I'
\п — т )
(я- 0,1,...),
(1*1 < 1).
п(п - 1) ...(я - т + 1)
т!
(л > т).
II. Соотношения. А. Рекуррентные формулы:
(nI1)=O-LM
("I1HlHi:')-(V)
(и > т).
В. Контрольные соотношения:
Ё,С) u-ИТ] •
ZJ-^ty-(rV) —• ("Н1Г
Vmj VIHoJ і»
. (mod р),
где р — простое число и
и =У) пнр11,
кш о
г =JyHjtffc «.о
(р> тк, Пк > 0).
ад - E <- и*-« [") /<* +¦ м) -
-^f'') Д^f{x-г),
\Hx-m) -
к-а
(s < Il)-
III. Частные значения.
. 1,
(2n\ 2"(2я - 1) (2я - 3)... 3.1
0=0=
л!
24.1.2. МУЛЬТИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ I. Определения.
A. (и; Я], п2,..., Itm) — число способов помещения n = «= U1 л» -H ... «т различных предметов » m различных ящиков, где Hl — число предметов в K-M ящике, к — 1,2,... .,., т. (я; аи <72,оп)в — число перестановок n — O1 + 2а2 + + ... I- символов, составленных из циклов ац длины к для к 1,2, ...,п.
(л; Чу, д2> •••» f?()' — число всех возможных разбиений множества из n — O1 + 2а2 + ... + иап различных предметов на подмножества at, содержащие к предметов, к «= = 1,2.....и.
B. Производящие функции:
(X1 + Jf2 + ... + Xm)" =
«= Е(л; Пі, па.....Hm) Xit ...
суммирование по «і 4- «г + — + % = я;626
24. КОМБИНАТОРНЫЙ АНАЛИЗ
ШИ"-
T--V In
-mlZ; 17 Z)»; »¦• «¦>* *Р л'1... 4",
«и«
pi* ^ _
= m! X/ 01' Й2) anY xI1 ^a1 —
суммирование по Ді + 2ог + + пап ft и G1 + G2 -f ... + + ап — т.
С. Явные выражения:
(п; «і, /?, ..., Ota)*= н!/(их! O2'
(«1 + Па + ... + Tlm — П),
(я; ль o2) ..., - я !/Q V' 2?! ... ля"дя!)
(A1 + 2д3 •+¦ ... + яд» = и), Ов; ol, Да, .... а*)' = К!/((1!)'?! (2If2 я2!... («О^йпО (oj -Ь 2ог + ... + пап = и)
И. Соотношения.
A. Рекуррентные формулы:
(и + т- M1 + 1, На + I.....Tlm + I) ==
т
— 2D (« + w — 1; к-І
M1 + 1, ..., Mjt-I + 1, Пц, Пк+і + 1, Vm + І).
B. Контрольные соотношения:
Elmn для всех щ Э* 1 (Щ пи .... Л.) = ^m
суммирование по H1 + я2 + ... + nm = п;
Oi, 02, • o»; <3i, Oii ...,
• = (_!)«-« s(nm\
- c<nm>,
+ TlGn = П И O1 -г 4-І + ... +
суммирование по O1 + Ia2 т + а» = /я.
С. Численный анализ (формула Фаа ди Бруно): d*
-7^/Ш) '
= /W(S(X))J^ (п; оь я2, я«)'х
XisWt isW -Is^Wn
суммирование по O1 + Iaa -f ... + пап =00, + ? + .,,+ + <г» — /и;
і
ps А
р, р,
п-1 іц-г
О
л - 1 P1
=S С" 1^2ef (и; аи аи...,ап)*ф1? ...
суммирование по ах + Iaz -f ...-І- пап — так, если Pfc — — PJ,| Xj для к — 1,2,...,«, то определитель и сумма равны я! •¦•Хп' Последняя сумма обозначает я-ю
элементарную симметрическою функцию от x2>хг.
24.1.3. ЧИСЛА СТИРЛИНГА ПЕРВОГО РОДА
I. Определения.
A. (—Iflm S'„!"] — число перестановок из я символов, которые имеют точно m циклов.
B. Производящие функции:
х(х - 1)... (х - п + 1)
{In (I + x)}m = ml У* S™ iV (IjcI <
H^rn 11 ¦
C. Явное выражение (см. выражение для а/,""):
,г =E (-O'2""м Zkw
to {п - m + к) {п — m - IcJ
II. Соотношения.
A. Рекуррентные формулы:
SSl - - BSi"' C« г m > 1),
(7)5Г>*?_,("){n>m>
B. Контрольные соотношения:
]Г; =^ о (и > 1),
(-Dn-w^ = я!,
о
ад' = ^r'•24.1.4. ЧИСЛА С1ИРЛИНГА'ВТОРОГО РОДА
627
С. Численный анализ:
.im ® ,S'i,w)
-^г/w-"'S ^Tavw-
если ряд сходится.
III. Асимптотика и частные значения.
I Sgn I ~ (и - 1)! (у + In Uyn-1Iim - 1)!
для т — о (In и),
Ж (-Dw
Iim
т2п 2п и!
^ S&1
Iim
nSST Sm = 8»,
Sff1 - (-1)" (л — !Я, 5ЇМ>
^--G)'
24.1.4. ЧИСЛА СШРЛШІГА ВТОРОГО РОДА I. Определения.
A. CT^n" — число способов разбиения множества из п
элементов на т непустых подмножеств.
B. Производящие функции:
х* = E - ••• (х - т -I- 1)
«8 = 0
(ех - Dw - ш! Y1 ОГ' — ' (1 - х)-1 (1 - 2л-)'1 ... (I - тх)~1 -
(їхі <т~1).
С. Явное выражение: