Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Абрамович М. -> "Справочник по специальным функциям" -> 358

Справочник по специальным функциям - Абрамович М.

Абрамович М. Справочник по специальным функциям — М.: Наука, 1979. — 832 c.
Скачать (прямая ссылка): spravochnikpospecialnimfunkciyam1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 352 353 354 355 356 357 < 358 > 359 360 361 362 363 364 .. 480 >> Следующая


C. Явные ьыраженни П. Соотношения.

A. Рекуррентные формулы

B. Соотношения для контроля вычислений

C. Основные применения в численном анализе

III. Асимптотика и частные зкачени

В большинстве случаев используемые обозначения стандартны. Это относится к разностному оператору Д (определенному для функции от х так:

-VVo- U-/(*), AihVW - А(Д"/М).

к дельта-функции Кронекера 8{j, к дзета-функции Римана s(s) и к наибольшему общему делителю (т, и). При суммировании, когда у знака суммы ас обозначены пределы, эти пределы указываются справа от формулы.

Обозначения нестандартны для мультиномиальных коэффициентов, для которых в эгой главе используются произвольные обозначения, а также для чисел Стерлинга, обозначения которых никогда не были стандартизованы.

Для чисел Стирлинга первого рода используется символ Sfimt для чисел Стирдиша второго рода — символ

24.1.1. БИНОМИАЛЬНЫ*: КОЭФФИЦИЕНТЫ

I. Определения.

A. I " I есть число способов выбора т предметов из U»J

24.1. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

С. Численный анализ:

собрания и различных предметов независимо от их порядка. В. Производящие функции:

(1 + хУ

(1 - х)-"-1 С. Явное выражение:

'-so-

СЬ

!!(11 - т)I

"I " I'

\п — т )

(я- 0,1,...),

(1*1 < 1).

п(п - 1) ...(я - т + 1)

т!

(л > т).

II. Соотношения. А. Рекуррентные формулы:

(nI1)=O-LM

("I1HlHi:')-(V)

(и > т).

В. Контрольные соотношения:

Ё,С) u-ИТ] •

ZJ-^ty-(rV) —• ("Н1Г

Vmj VIHoJ і»

. (mod р),

где р — простое число и

и =У) пнр11,

кш о

г =JyHjtffc «.о

(р> тк, Пк > 0).

ад - E <- и*-« [") /<* +¦ м) -

-^f'') Д^f{x-г),

\Hx-m) -



к-а

(s < Il)-

III. Частные значения.

. 1,

(2n\ 2"(2я - 1) (2я - 3)... 3.1

0=0=

л!

24.1.2. МУЛЬТИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ I. Определения.

A. (и; Я], п2,..., Itm) — число способов помещения n = «= U1 л» -H ... «т различных предметов » m различных ящиков, где Hl — число предметов в K-M ящике, к — 1,2,... .,., т. (я; аи <72,оп)в — число перестановок n — O1 + 2а2 + + ... I- символов, составленных из циклов ац длины к для к 1,2, ...,п.

(л; Чу, д2> •••» f?()' — число всех возможных разбиений множества из n — O1 + 2а2 + ... + иап различных предметов на подмножества at, содержащие к предметов, к «= = 1,2.....и.

B. Производящие функции:

(X1 + Jf2 + ... + Xm)" =

«= Е(л; Пі, па.....Hm) Xit ...

суммирование по «і 4- «г + — + % = я; 626

24. КОМБИНАТОРНЫЙ АНАЛИЗ

ШИ"-

T--V In

-mlZ; 17 Z)»; »¦• «¦>* *Р л'1... 4",

«и«

pi* ^ _

= m! X/ 01' Й2) anY xI1 ^a1 —

суммирование по Ді + 2ог + + пап ft и G1 + G2 -f ... + + ап — т.

С. Явные выражения:

(п; «і, /?, ..., Ota)*= н!/(их! O2'

(«1 + Па + ... + Tlm — П),

(я; ль o2) ..., - я !/Q V' 2?! ... ля"дя!)

(A1 + 2д3 •+¦ ... + яд» = и), Ов; ol, Да, .... а*)' = К!/((1!)'?! (2If2 я2!... («О^йпО (oj -Ь 2ог + ... + пап = и)

И. Соотношения.

A. Рекуррентные формулы:

(и + т- M1 + 1, На + I.....Tlm + I) ==

т

— 2D (« + w — 1; к-І

M1 + 1, ..., Mjt-I + 1, Пц, Пк+і + 1, Vm + І).

B. Контрольные соотношения:

Elmn для всех щ Э* 1 (Щ пи .... Л.) = ^m

суммирование по H1 + я2 + ... + nm = п;

Oi, 02, • o»; <3i, Oii ...,

• = (_!)«-« s(nm\

- c<nm>,

+ TlGn = П И O1 -г 4-І + ... +

суммирование по O1 + Ia2 т + а» = /я.

С. Численный анализ (формула Фаа ди Бруно): d*

-7^/Ш) '

= /W(S(X))J^ (п; оь я2, я«)'х

XisWt isW -Is^Wn

суммирование по O1 + Iaa -f ... + пап =00, + ? + .,,+ + <г» — /и;

і

ps А

р, р,

п-1 іц-г

О

л - 1 P1

=S С" 1^2ef (и; аи аи...,ап)*ф1? ...

суммирование по ах + Iaz -f ...-І- пап — так, если Pfc — — PJ,| Xj для к — 1,2,...,«, то определитель и сумма равны я! •¦•Хп' Последняя сумма обозначает я-ю

элементарную симметрическою функцию от x2>хг.

24.1.3. ЧИСЛА СТИРЛИНГА ПЕРВОГО РОДА

I. Определения.

A. (—Iflm S'„!"] — число перестановок из я символов, которые имеют точно m циклов.

B. Производящие функции:

х(х - 1)... (х - п + 1)

{In (I + x)}m = ml У* S™ iV (IjcI <

H^rn 11 ¦

C. Явное выражение (см. выражение для а/,""):

,г =E (-O'2""м Zkw

to {п - m + к) {п — m - IcJ

II. Соотношения.

A. Рекуррентные формулы:

SSl - - BSi"' C« г m > 1),

(7)5Г>*?_,("){n>m>

B. Контрольные соотношения:

]Г; =^ о (и > 1),

(-Dn-w^ = я!,

о

ад' = ^r'• 24.1.4. ЧИСЛА С1ИРЛИНГА'ВТОРОГО РОДА

627

С. Численный анализ:

.im ® ,S'i,w)

-^г/w-"'S ^Tavw-

если ряд сходится.

III. Асимптотика и частные значения.

I Sgn I ~ (и - 1)! (у + In Uyn-1Iim - 1)!

для т — о (In и),

Ж (-Dw

Iim

т2п 2п и!

^ S&1

Iim



nSST Sm = 8»,

Sff1 - (-1)" (л — !Я, 5ЇМ>

^--G)'

24.1.4. ЧИСЛА СШРЛШІГА ВТОРОГО РОДА I. Определения.

A. CT^n" — число способов разбиения множества из п

элементов на т непустых подмножеств.

B. Производящие функции:

х* = E - ••• (х - т -I- 1)

«8 = 0

(ех - Dw - ш! Y1 ОГ' — ' (1 - х)-1 (1 - 2л-)'1 ... (I - тх)~1 -

(їхі <т~1).

С. Явное выражение:
Предыдущая << 1 .. 352 353 354 355 356 357 < 358 > 359 360 361 362 363 364 .. 480 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed