Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
in пі I) (и — т) (л - т 4 1) (л - т 4 2) (л 4 т 1) (л I /-I) (л .>н 1|!и і т 4 2)
(2л - 3) (2л - I)4 (2л 4 1)' (2л + 3)" (2л I- 5)
Асимптотическое разложение /.m
21.7.6. >,„(с) - 4 іл! - і (дг 4 5)-
— (?' 4 11 - 32л]2) -64с
1
1024с3 1
[5((74 4 26?2 4 21) - 384m2(§a + 1)] -Г--- Olo5 + 1554о2 4 562Ь) -
L 128®
- ~ (37/ 4 1679) -128
¦ч -
і г— (639й 4 494094 - 4332792 4 22470) -с41.2562
Зт4
¦ (11594 + 13 IOg2 4 735) 4 -
г<«-+1>]-
-Г—!- (5279? -I- 615299s 4 10439619s 4 224159?) -сЧ 1024і
----(573996 4 12755092 4 2989519)4
+ (3559s 4 15059)
л1в9"1
"Тб-J-
4 0(с-'), 9 = 2(л - m) 4 1.
Уточненне приближенных зиачевиб для Xmtt
ГТ'.сгі) у І,';. — приближенное значение >.mn, полученное из 21.7.5 либо из 21.7.6.
21.7.7. A„ = Щі 4 8д„,
Waa + tftPfli) A1 + ДГ
S'«» - -
З™ E
з;1 з™
(JVD2 (АТЛТз)2 (N? NtL2 NtllY
Да _ W'k'* + №+¦ JYr".)' (_«"„ ЛТ-цЛУн.,)2
?™ 2 ?Aj ЗГ+. ??+i ?A. ?A,
(2m 4 r) (2m 4 r - 1) c2
(2m 4 2r - 1) (2m 4 2r 4 1) Л __гіг- l)(2m 4 і-) (2ін і- i- - l)c4
(r S 2),
(2m -
¦ І)2 (2тл 4 2, 4 1) (2m + 2r - 3)
(i- » 2).
Влчис.тепие коэффициентов 1-й шаг. Вычисляются Nf1 по формулам
21.7.8. NZ-я = т?
(і- S 2),
Jvy
JVJ- - г™ - W JVJ1 - if - і».,
у» - (m 4 г) (m 4 г 4 1) 4 — с"х 2
Г, 4т2 - 1
(2т 4 2r - 1) (2т 4 2г 4 3) J
(' > 0).
2-й шаг. Вычисляются отношения doMsr и по
формулам
I Д d5 ) { dap+1J
и формуле для Nf1 в 21.7.7.
Коэффициенты J""1 определяются с точностью до произвольного множителя d„ для г четных или (Ii для /• нечетных. Выбор эти\ множителей зависит от принятой нормировки.21.7. ВЫТЯНУТЫЕ УГЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
563
Нортиронка Ji JKiBbiX функций Нормиробка Майкснера—Щефке
21.7.11. V LWe, T))]2 du =
2 (п + т)\ 2п + 1 (и - т)\
Нормировка Cmpemtnom-Mopca—Чжу—Литтла— Корбато
21.7.12. Yv ^t^L
(л - т)\
(При такой нормировке SmniCl г,) > /^T'i'v-j, когда v-, -- [.) Нормировка Фламмера [21.4]
21.7.13. S„,(r, 0) = JS1(O) =
2«((п- т)/2)! ((n I т)/2)!
(и — т) — четное.
21.7.14. S'„(c, 0) - W(O) -(-Oi"
>'"(п + т + 1)>
2*((» -т - 1)/2)!((« -I m + 1)/2)!
(« — т) — нечетное. Такая нормировка приводит к следующим условиям для
2,.7.,5. J^J=1JpLtMLir.
* :-|;if /ч
(-1 )[«-я)/г(„ + „,)!
(и — т) — четное,
21.7.16. р.
- (~1)'*-""'"С + W + 1)!
-M-J1(itTii)'
(и — иг) — нечетное. (Нормировка 21.7.13—21.7.14 используется также в [21.10].)
Асимптотические разложения SranCc, ?)) 21.7.17. SmwCc1 7]) = (! — 'Є)1'2 Umnic, ц) (с - go),
Umn(X) = S h\ Di+r(x\ l = n-m,
где Drix) — функции параболического цилиндра (см. гл. 19);
Dr(X) = (-1)г е**/4 -?-е-хЧ2 = 2-г'2 е-*2/4 dx'
и — многочлены Эрмита (см. гл. 22). (Таблицы значений hl±rihlQ см. в [21.4].)
Разложение Smnic, 7)) по степеням У]
21.7.18. SWfo її) - (1 - т]<)»" J2' PTn^ V-
» — 0, 1
(г + 1) (г + 2) рГШ -
- {г(г + 2га T 1) f H- 1) - лжа(с)] х
х^Г(с) - с*Р?-г(с) = 0.
Вывод трансцендентного уравнения для лдап подобен выводу 21.7.4 из 21.7.3.
Разложение Smn(e, rf) по степеням (1 — T1-)
21.7.19. Smn(c, Y1) = (1 - rf)m<- '"ГО -Ija)*,
(и — т) — четное,
21.7.20. Smn(c, Ti) - -о(1 - Tf^ - тf)\
A = О
(п — т) — нечетное,
- 1 (2m + 2г)\
' 2mkl(m + k)\fri (Ir)
um -і- а)\ . , [ , , l\
1-ї!
(2m + 2r + 1)!
2"?!(m + 1?)!,? (2r+l)!
(л - ml четное,
(-r)tlm+ , +
+ Ijt «"«,
(n — m) — нечетное, (a)t = a(a + 1) ... (a + к + I), dlT ~ коэффициенты разложения 21.7.1.
Вытянутые угловые функции второго рода Разложение 21.7.2 можно привести к виду 21.7.21. SJSCcl Ч) =
* = -2и, —2m + 1
г = 2m + 2»и + 1
Коэффициенты JJ?1" те же самые, что и в 21.7.1; коэффициенты </я}» протабулированы в [21.4].564
21. СФЕРОИДАЛЬНЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ
21.8. СПЛЮСНУТЫЕ УГЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
Степенной ряд для собственных значений
21.8.1. W= 1)Чае",
A-O
где h те же самые, что в 21.7.5.
Асимптотическое разложение собственных значений [21.4]
21.8.2. >.т„ - -с* + 2c(2v + т + 1) - 2v(v + m + 1)-
- (m + 1) + А„,
V = — (п — т) для (п — т) четного,
2
V = — (н — т — 1) для (п — пі) нечетного,
2
Л»„ - ? K-C-1,
и» = -2"W + 1 - "?),
„ _2-<[59< + Юq* + 1 - 2mW + 1) + m*J,
?s» = -2-»<j[3394 + 1149а + 37 - 2ma(23ga + 25) + 13m1],
?~> _ -2-и[63/ + 340?" + 239q* + 14 -
- І0м\1<У + 23«' + 3) + m*(39gs - 18) - 2m'),
?™ _ v(v + m)^1 + (v + 1) (» + m + 1) o+\
q -- n для in — m) четного, q ^n для (n — m) нечетного. Определение f'Tґ см. в 21.8.3.
Асимптотическое разложение сплюснутых угловых функций
21.8.3. Smni-Ic1 і) ~
ATie-V-^LlSHlcil -Tl)] + + (-1)»-» .-WliBlPca + ч)]},
где LfnilCr) — многочлены Лагерра (см гл. 22) и
ASIAf = 2 '(m> ">
k=r
Выражения для O^r даются в [21.4]. 21.9. РАДИАЛЬНЫЕ ВОЛНОВЫЕ СФЕРОИДАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
21.9.1. -Rffifr, 5) =
? fi^TfiP
yv .г+т-п(2ж і г)] Jmn2(P) L-J. >-i
ї'я+і/гС^) 0> - 2).
-7»+і/2(*) и *W/2(x) — функции Бесс&пя порядка п + 1/2 первого и второго рода соответственно (см. гл. 10).