Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
-1 -о' і -
-Г,
21.2.1. — + —
S2 5« - 1 Tf 1 - 7)"
у = г cos 9, z = г sin 9, о 9 < 2«, где т) и 9 — вытянутые сфероидальные координаты.
Соотношения между декартовыми и вытянутыми сфероидальными координатами
21.2.2. у =/V(S* - 1) (і - Iа) cos 9,
г -/Vaa- Dd - tf) sin 9.
21.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СПЛЮСНУТЫХ СФЕРОИДАЛЬНЫХ КООРДИНАТ
Если система софокусных эллипсов 21.1.3 и гипербол 21.1.4 вращается вокруг малой оси, то
г2 vа г2 v8
21.3.1. — + —= р, ----У-— = Л
5* V-I Iа I - ^ J
z = г cos 9, X = г sin 9, 0 =? 9 < 2тг, где г] и ф —¦ сплюснутые сфероидальные координаты.
Соотношения между декартовыми и сплюснутыми сфероидальными координатами
21.3.2. X — /? sin 9,
У = /Vdrr 1) (1 - г*), Z=Zlrl COS 9.
Метрические коэффициенты для вытянутых сфероидальных координат
21.4.2
21.4. ЛАПЛАСИАН В СФЕРОИДАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ 1 Г 8 f Mt 6 1
S IhiIiv 0 1 8 Г IilIln s 11
+ STI I Ihl SfJ+S^T I h<t S^JJ ' « (.:/•(.;/ (.-)•
(e^) + (sj + (S9) '
A» = /V(5'- Dd - >f)-
Метрические коэффициенты для сплюснутых сфероидальных координат
11.4.3. Ae =/]/-
-'П.
-Av-
21.5. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ В ВЫТЯНУТЫХ И СПЛЮСНУТЫХ СФЕРОИДАЛЬНЫХ
КООРДИНАТАХ
шлновое уравнение в вытянутых сфероидальных координатах
IV) L Sri J
(Ss-I)(I-VIs) V
Волновое уравнение в сплюснутых сфероидальных координатах
21.5.2. ?гФ + к'Ф = — Г(5а + 1) —1 +
el L »5J
0ч L ST1 J
(5«+ 1)(1 - if) V
+ с№ + ч1) Ф - о _ I /fcj .
21.5.2 может быть получено из 21.5.1 с помощью пре-
образования ? ± 1% С — ^ 1с.2(.7. ВЫТЯНУТЫЕ УГЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
561
21.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ РАДИАЛЬНЫХ И УГЛОВЫХ ВОЛНОВЫХ СФЕРОИДАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Дифференциальные уравнения для вытянутых функций
Положим в 21.5.1
Ф = Rmn(c, I) Srnn(c, -ті)C0S т<?.
sin
Тогда радиальное решение Rmn(c, 0 it угловое решение Smn(c, т]) будут удовлетворять дифференциальным уравнениям
21.6.1. la3-') 4r o] -
:1.6.1. -<'- hv-
л L
dl
l)-
21.6.2. — (1 ¦
dt L
I2)
dl)
, 1)] -
+ Urn
SimIc, r,) = 0,
где постоянные разделения (собственные значения) ),mn определяются так, чтобы Rmnicl г) и Sm,/с, T1) были конечны при Е, = ±1 и при 7} = il соответственно.
Сравнивая 21.6.1 и 21.6.2, видим, что вытянутые радиальные и угловые сфероидальные функции удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению, рассматриваемому на разных интервалах изменения независимой переменной.
Дифференциальные уравнения для сплюснутых функций
dl
- с» P
- if) — Smnic, ч) + d7) і
+ I Am» + C2Tjli
m' 1
"і - if)
А».(е. 5) - 0.
Scot=, ч) - 0.
21.6.3 может быть получено из 21.6.1 с помощью преобразования '' -. il'5, С — ІС) 21.6.4 может быть получено нз 21.6.2 с помощью преобразовании с -. 5P іс.
21.7.1. ті) - ТУ d?"(c)
г = 0,1
- вытянутая угловая функция первого рода.
21.7.2. 5«Ил г,) - d™(c) QStAi,)
21.7. ВЫТЯНУТЫЕ УГЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
Трансцендентное уравнение для Xm
21.7.4. UCkmd - ЩХ„,) + %(}„») - 0.
— вытянутая угловая фуіиіиия второго рода.
/''^1(Y1) и С7Ґ.'') — присоединенные функции Лежандра первого и второго рода соответственно. Для —Is; _ 1 /^'1:-1 = (1 - г V - il^i'^zi a-.'" (см. 8,6.6). Суммирование выполняется либо по четным, лабо по нечетным значениям г в соответствии с четностью п - т.
Рекуррентные соотношения между козффнцнеЕггями
21.7.3. ItА-+. + (?i - WA -t TlA-j = 0.
(2m + k + 2) (2m + і + 1) ca «it -----.
(2m + 2k+J) (2m + 2k + 5)
. , |IW , , 2(m \ k) (m + fr+1) -2m1 -1 , h = (m -k) Im : k+]-.---—--------c2,
(2m -I- Ik - 1) (2m + 2k -)-3)
k(k - 1) c3
(2m + 2k - 3) (2m + 2* - 1)
K(W) - Y?
Cr1(W) = - ¦
Vf-2 — W— Гг-4 ?r+B ' ?f+4
їг+а — Хши — їГ+4 — ^ws -/с(<г - 1) 12т + k) (2т + к - 1) с
(2т + 2к - 1)» (2т + 2/fc + 1) (2т +
2к - 3) № » 2),
Tt
¦ (т + к) Im + к + 1) +
М-
4т'
Ctm + 2к -1) (2т (Выбор г в 21.7.4 произволен.) Степенное разложение ?-mn
+ 2? + 3)J (t 3> 0).
21.7.5. W = ? Ia Cst, /,=IKn+ 1),
(2m - 1) (2m 4- 1) 1
(2n - 1) (2n + 3) J562
21. СФЕРОИДАЛЬНЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ
-])(« — ш) (п 4 т — 1) (л 4 т)
I, - (4m2 - 1)
2(2л г 1) (2и I- З)3 (2ц т 5) 2(2л - 3) (2л - ])>(2n -I 1)
Г(л — W + 1) (л — ія — 2) (и 4 пі -i 1) (л i- т ! 2) (и — т — !) (и — т) (л + т — 1) (я '- іл)
I1 = 2(4»г - 1)' Л 4 Я 4 - С -
(2п - 1) (2л 4 1) (2л + 3)' (2л - 5) (2я + 7) 1
(2п - 5) (2л - 3) (2л - IJs (2п 4 1) (2и
+ 3) J '
(л - іл - 1) (n - т) (л 4 m - 1) (л + т) (л - m 4 1) (л - в + 2) | 1)_(л 4лі +2)
(2л - 5)2 (2л - 3) (2л - 1)' (2л + 1) (2п + З)2 (2в - U2 (2п f 1) (2л + 3)г (2л h 5) (2n f 7)" (и — /и — 3) (л лг - 2) (я ~ m — 1) (л — т) (л + іл - 3) (л -- /л - 2) (л -|- т - 1) (я -I т)
(2л - 7) (2л - 5)2 (2л - 3)' (2л - I)4 (2л -I 1) (л — m I) (,; -пі- 2] (п -- т 3) (п — ш I- 4) (л t m + I) (я -
- 2) (л 4 т 4 3) (л -I- т 4 4)
(2л 4 1) (2п 4 3)4 (2л J 5)" (2и 4 7)2 (2л 4 9)
(л - щ h Qg(я - лі - 2)'(л 4 m + 1)'(л 4 т + 2)! _ (л -_т - I)2 (я - mf (л 4 m - 1)2(л 4 и)* (2и 4 I)2 (2л 4 3)' (2л 4 5)2 (2л - З)2 (2л - 1)' (2п 4 i)2