Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
Классификация функций и организация глав в данном справочнике сделаны по образцу книги «An Index of Mathematical Tables» * *). Как правило, глава содержит таблицы, графики, аппроксимации многочленами и рациональными функциями, формулировки основных математических свойств рассматриваемого класса фупкций. Приводится много числовых примеров, иллюстрирующих пользование таблицами и приемы вычисления значений, лежащих вне области табулирования.
В конце каждой главы дается краткая библиография книг и статей, содержащих доказательства сформулированных свойств и наиболее важные числовые таблицы. Наиболее полная информация о таблицах дается в Указателе (см. сноску **)) ***).
Математические обозначения, употребляемые в справочнике, являются принятыми в литературе, в частпостя в книге «Higher Transcendental 1 unctions»****). Иногда указываются и другие обозначения, используемые для тех же функций. Введение новых символов сведено к минимуму, и были приложены все усилия, чтобы исключить спор-вые обозначения.
2. Точность таблиц. Число значащих цифр, данных в каждой из таблиц, зависит в некоторой степени от того, ч го уже имелось в табличной литературе. При этом мы не считади целесообразным делать точность всех таблиц справочника одинаковой. Большинство таблиц содержит по крайней мере пять значащих цифр. Табличный таг выбран так, чтобы обеспечить при шшеиной интерполяции 4—5 верных знаков, т е. точность, достаточную во многих физических приложениях. Если требуется бблыпая точность
*) Шестое издание (в соавторстве с Лешем) было опубликовано в 1960 г. в ФРГ (7-м изданием), в США и в СССР (3-м изданием) (см. [9.32]).
**) Fletcher A., M 111 е г J. С. P., R о s е n h е a d L., Comrie L. J. An Index of Mathematical Tables. — U.SA.- Addison-Wesley, 1962.
***) На русском языке имеются аналогичные издания: 1. Лебедев А. В., Федорова Р. В. Справочник по математическим таблицам. — M.: Изц-во АН СССР, 1956; 2. Бурунов а Н. М. Справочник по математическим таблицам. Дополнение № 1. — M.: Изд-во АН СССР, 1959.
****) См. [26 2].
ннтераоляции, го ее можно получить, применив одну из описываемых ниже интерполяционных процедур более высокого порядка.
В некоторых таблицах значения функции даются с большим числом знаков через неравномерные интервалы аргумента, как например, в табл. 9.4. Цель таких таблиц — дать опорные значения при контроле программ для вычислительных машин. В этом случае интерполяция не применяется.
Максимальная допустимая ошибка в таблицах справочника — О 6 единицы последнего знака для элементарных функций, одна единица последнего знака для высших функций, за исключением немногих случаев, когда ошибка может возрастать до двух единиц последнего знака.
3. Вспомогательные функции и аргументы. Одна из основных задач справочника — дать такие таблицы или вычислительные методы, которые позволили бы получать численные значения рассматриваемых функций для всех допустимых действительных значений их параметров. Для выделения особенностей основных функний часто применяются вспомогательные функции, а для замены бесконечных интервалов конечными — вспомогательные аргументы. Разъясним это на примере.
Интегральная показательная функция положительного аргумента имеет представления
Логарифмическая особенность затрудняет интерполяцию функции Еі(х) вблизи * = 0. Функции же Ei(x) — In х h.x_j[Ei(jc) — In X — у] хорошо велутсебя и легко интерполируются в этой области. Каждая может служить вспомогательной функцией. Фактически выбрана вторая, так как при обратном переходе от нее к Еі(лО получается несколько большая точность. Функция л~3[Еі(х) — In х — у] прота-булирована с девятью десятичными знаками на интервале О < х ^ 1/2. На интервале 1/2 =S х 2 Ei(jc) — достаточно гладкая функция, которая табулируется непосредственно. При больших значениях начинает проявляться экспоненциальный характер функции Еі(лг). Более гладкой и легко интерполируемой при этих X является функция Xe-irEl(X), которая и табулируется при 2 ^ х =S 10. Наконец, интервал 10 «S * < оо заменяется конечным с помощью обратного аргумента х~х. Для того чтобы получить в этой области хорошо интерполируемую таблицу функции хе яЕі(х), достаточно 21 табличного значения, соответствующего X-L - 0.1(-0.005)0. 8
ВВЕДЕНИЕ 8
4. Интерполяция. В таблицах этой книги пе содержатся ни разности, ни какие-либо другие вспомогательные средства для интерполяции. Было решено, что лучше использовать место для табулирования вспомогательных функций. Правда, как известно, разности можно поместить, не увеличивая объема таблиц, а взяв больший табличный шаг. Но увеличение шага противоречило бы требованию, чтобы линейная интерполяция в таблицах обеспечивала 4—5 верных знаков.
В приложениях, в которых точность линейной интерполяции недостаточна, рекомендуется применять формулу Лагранжа или итеративный метод Эйтксна *). В помощь читателю к большинству таблиц прилагается информация о максимальной ошибке линейной интерполяции и о числе точек, необходимых в формулах Лагранжа и Эйткена для получения полной табличной точности.
