Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
Д >0
Если Rcz> со/2 или Im 2 >ы'/2, то используем формулу удвоения 18.4.8:
C(Z) = -V(Zll)Ct(Zft),
в которой <t(z/2) вычисляется по ряду Маклорена, а Cfi'(z/2) методами, изложенными в приведенных выше примерах. В противпом случае для вычисления r,(z) используется непосредственно ряд Маклорена.
Д <0
Если Rc z > os/2 или Im z >?1*2/4, то используется формула удвоения, как и в случае Д >0. В противном случае для вычисления o(z) используется непосредствен го ряд Маклорена. 480
18. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕРПГГРАССА
Иначе u(z) мэжко вьиислять с использованием тэта-функций (см. 18. JO), определяя сначала д, а затем ?<(0) (/ = 2,3,4).
Д >0
Пример 13.
Вычислить о(0.4 -f 1.3/) для g% = 8, ?s = 4.
Из примера 7 следует
' to = 1.009453,
с»' = 1.484413/. Так как Im г > 0572, то по ряду Маклорена 18.5.6 находим
cr(z/2) = <т(0.2 + 0.65/) = 0.19543 86 + 0.64947 28/; по ряду Лорана 18.5.4 вычисляем
9'(0.2 + 0.65/) = 5.02253 80 - 3.56066 93/.
Окончательно по формуле удвоения 18.4.8 найдем о(0.4 + 1.3/) = 0.278080 + 1.272785/.
Пусть дано ст[9, 9', Q, соответствующее точке г, лежащей в фундаментальном прямоугольнике, а также ga и
или эквивалентные им величины; найти z
При использовании обращенных рядов из 18.5 в общем случае можно получить лишь несколько значащих цифр; исключение составляет малая окрестность точки разложения. Для получения большей точности следует применять методы обратной интерполяции.
Если данное значение функции не соответствует точке из фундаментального прямоугольника (см. конформные
Д > 0
Пример 14.
Даны 9(z) — 1 — /, = 10, gs = 2; найти г.
Используя первые три члепа разложения 18.5.25, получим
Z1 я 0.727 + 0.423/. Ряд Лорана 18.5.1 дает
9(h) = 9(0.727 + 0.423/) = 0.825 - 0.895/, 94?) = 340.697 + 0.393/) = 0.938 - 1.038/.
Обратная интерполяция приводит к результату zP - 0.707 + 0.380/. Повторное использование этой процедуры дает z = 0.706231 + 0.379893/,
Д >0
Д <0
Пример 13.
Вычислить а(0.8 + 0.4/) для gu = 7, ga = 6. Из примера 7 следует
<о8 * 0.99579 976,
л»; = 2.33241 83/.
Так как Im z> ?^/2, то по ряду Маклорена 18.5.6 находим
U(Zjl) - с(0.4 + 0.2/) = 0.40038 019 + 0.19962 017/;
по ряду Лорана 18.5.4 вычисляем
9'(0А + 0.2/) -» -3.70986 70 + 22.218544/.
Окончательно по формуле удвоения 18.4.8 найдем
о(0.8 + 0.4/) »= 0.81465 765 + 0.38819 473/.
отображения), то, используя соответствуютие формулы приведения из 18.2, задачу можно свести к случаю, когда z лежит в фундаментальном прямоугольнике. Этот процесс относительно преет для 9(z). Например, ссли Д > 0 н 9(z) — = а + ib, где Ь > 0, то берем значение 9 = а — ib и находим соответствующее ему Z1 из R1 (см. рис. 18.1). Затем вычисляем, исходя из 18.2.31, zs = Z1 + 2со\ Эта точка принадлежит R2 и соответствует заданному значеную функции 9. Для других функций этот процесс более сложен.
Д <0
Пример 14.
Даны 9(z) - 1 + /, gz = -10, gs = 2; найти z. Из примера 6 берем
со. = 1.40239 48, = 1.52561 02/.
Так как b >0, то аргумент г лежит в R2 и вычисляется через 9. Используя 18.5.25 с <х2 = —1.25, а3 = 0.25, и = =Ki0)-1]1/J и коэффициентами с2 исз 03 примера 8, получим 2и = 1.55377 3973 + 0.64359 42493/, -C2Us = 0.08044 9281 - 0.19422 17466/, с$н? = -0.01961 9359 + 0.00812 66047/,
= -0.10115 7160 - 0.04190 06673/.
Д < 0
Ограничившись членом с и7, найдем Z1 & 0.81 4- 0.23/. Принимая Az ~ —0.03 — 0,01/ и используя 18.5.1, получим
9(0.81 + 0.23/) = 0.91410 95 - 0.86824 37/,
9(0.78 + 0.22/) = 1.03191 60 - 0.91795 22/.
Обратная интерполяция дает
ziv = 0.7725 + 0.2404/.
Повторяя процесс обратной интерполяции, окончательно получим
z « 0.772247 - 0.239258/. ПРИМЕРЫ
481
Пример 15.
Даны ?(z) == 10 — 15/, g% = 8, fs = 4; найти z. Используя обращенный ряд 18.5.40, для которого
Af -0.13333 333, A7 = -0.02857 14286, и = -0.03076 923076 + 0.04615 364615/,
д > О
Айиь « -0.00000 001402 + 0.00000 006860/, A4Ui = -0,00000 000004 - 0.00000 000003/,
получим
г = 0.03076 921670 + 0.04615 391472/.
Методы вычисления 9(9*', ? или а) по данным г, ga и gz (или их эквивалентам) на электронных цифровых вычислительных машинах
(a) Интегрирование дифференциального уравнения
9 и 9' могут быть получены для любого z достаточно близкого к «известной» точке z*(9(z*) и 9\z*) предполагаются известными), интегрированием дифференциального уравнения 9" = 69 і — g2/2. Программа на SWAC, основанная на модифицированном методе Хамера—Xoлигсвера (МТАС, July, 1955, р. 92—96), разработана под руководством доктора П. Хенриси в отделе численного анализа UCLA (кодовый номер 00600; программа написана У. Л. Уилсон). Программа была тестирована на эквиангармоническом случае при различных шагах интегрирования. Например, если начать с точки z* = W2 с «шагом интегрирования» (А, к), где fiu к—компоненты шага по действительной и мнимой осям, принимающим одно из шести значений (±2йв, 0), (±й0, где /? = со2/2000, к0 =
= I Cl)21/2000, то после 1000 шагов можно ожидать почтя 8S для 9 и 7S для 9'у пока точка z не слишком близка к полюсу.
