Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
Даны z = l.75 + 3.6/, ga = Itgi = 6; найти 9. Из примера 7 берем
W2 = 0.99579 98,
со; = 2.33241 83/.
Используя 18.2.18 при M = 1, N=I, найдем 9(1.75 + + 3.6/) = 9(-0.24159 96 - 1.0648 36/) = 9(0.24159 96 + +1.0648 36/).
При Д< 0 из табл. 18.3 получим ег = -0.81674 3 62 + + 0.50120 90/, с?2 = 1.63348 724, еа = -0.81674 362 -— 0.50120 90/, откуда
т = 0.01014 3566,
Щ'* = 1.58144 50,
так что г' = 2гНЦ* = 0.76415 29 + 3.3679 59/. Из 16.4 найдем
cn (z' I т) = 4.00543 66 - 12.32465 69/.
Применяя формулу 18.9.11, окончательно имеем 9(1.75 + + 3.6/) = 0.960894 - 0.383068/.
Пример 10.
Даны 61 — 10, їй' = 20/; найти ?(9 + 19/), используя тэта-функции, формулы из 18.10 и формул сложения.
По отношению периодов а — со'/ш = 2 найдем q — = е~2п =0.0018674427.
Используя ряды 18.10.21—18.10.23, вычислим значения тэта-функций с нулевым аргументом. По формулам 16.27.1—16.27.4 вычислим тэта-фупкции для аргументов v, в которых z=xhz = ;), Далее, по формулам 18.10.5— 18.10.7 совместно с формулами 18.10.9 и 18.10.18 получим
С(9) « 0.09889 5484,
?(19/) = -0.00120 0155/,
2(9) = 0.01706 9647,
Д >0
9'(9) = -0.00125 8460,
9(19/) = -0.00861 2615,
9'(19/) = -0.00003 757/.
Используя формулу сложения 18.4.3, окончательно найдем
?(9 + 19/) = 0.07439 49 - 0.00046 88/.
Пример 10.
Даны ь>2 5, й>а = 7/; найти 9'(3 + 2/), используя тэта-функции, формулы из 18.10 и формулы сложения.
Учитывая формулу 18.10.2, найдем q = ier0 ^ = - 0.11090 12784/.
Тэта-функции с нулевым аргументом вычисляются с помощью формул 18.10.21—18.10.23; тэта-функции для аргументов v1 и v2, соответствующих Z1 + z« — z, по формулам 16.27.1-16.27,4.
Используя формулы 18.10.5—18.10.6 совместно с формулой 18.10.10, получим
9(3) = 0.10576 946, 9(2i) - -0.24497 773, 9'(3) = -0.07474 140, д>'(Ъ) = -0.25576 007/.
Д <0
Применяя формулы сложения 18.4.1 и 18.4.2, окончательно получим
9(3 + 20 = 0.01763 210 - Ь.07769 187/, 9'(3 + 2І)= -0.00069 182 + 0.04771 305/.
Вычисление 9,9' н ? для частных значений отношения периодов с использованием табл. 18.2
Если задача сведена к вычислению 9,9' и ? в фундаментальном прямоугольнике, то для случаев, когда действительный полупериод равен единице, а чисто мнимый полупериод равен 1а, при некоторых значениях о можно непосредственно использовать табл. 18.2. Для примера рассмотрим функцию 9. Если |z| «мало»,то для вычисления 9{z) непосредственно используется ряд Лорана (инварианты даны в табл. 18.3).
Если л: «велико» и у «мало», то используется табл. 18.2 для получения х29(х) и х39'(х); отсюда находятся 9(х) и
9'(х). Дляполучения 9(г» и 9'(iy) используются ряды Лорана и наконец — формула сложения 18.4.1.
Для «малых» X и «больших» у следует поступать наоборот: по переменной X использовать рядЛорана, по переменной у—табл. 18.2. В случае, когда или у «велики», используется табл. 18.2 дляполучения 9(х), 9'(х), 9(iy) и 9(і»; затем применяется формула слсжепия 18.4.1.
Подобные процедуры используются и при вычислении 9' и С Для 9' вначале вычисляется 9, затем 9'2 = 49а — — gs9 — (для выбора знака 9' см. 18.8). ПРИМЕРЫ
479
Д > О
Пример 11.
Вычислить OjCO. S + о, если а = 1.2. Используя табл. 18.2 или ряды Лорана 18.5.1—18.5.4 при
S, - 9.15782 851,
gs = 3.23761 717,
найденным по табл. 18.3, получим
9(0.8) = 1.92442 11,
9^0.8) = -2.76522 05,
9(1) = -1.40258 06,
9"(/) = -1.19575 58f.
Используя формулу сложения 18.4.1, окончательно будем иметь
9(0.8 + /) = -0.381433 - 0.14936». Д > 0
Пример 12.
Вычислить С (0.02 + Зі) при а 4. Используя табл. 18.2 или ряды Лорана 18.5.1—18.5.5 при
= 8.11742 426,
g, = 4.45087 587,
найденным по табл. 18.3, получим
?(0.02) = 49.99999 89,
9(0.02) = 2500.00016,
9'(0.02) = -249999.98376,
С(30 = 0.89635 173/,
9(3/) = -0.82326 511,
9'(3i) = -0.00249 829/.
Применяя формулу сложения 18.4.3, окончательно найдем
11(0.02 + 30 - 0.016465 + 0.89635/.
Д < О
Пример 11.
Вычислить 9(0.9 + 0.1/), если а - 1.05. Используя табл. 18.2 или ряды Лорана 18.5.1—18.5.4 при . ' f
= -42.41653 54,
Js = 9.92766 62,
найденным по табл. 18.3, получим
9(0.9) = 0.34080 33,
9(0.9) - -2.164801,
9(0.1/) = -99.97876,
9(0.1/) - -2000.4255/.
Используя формулу сложения 18.4.1, окончательно будем иметь
9(0.9 + 0.1/) = 0.231859 - 0.215149/. Д <0
Пример 12.
Вычислить 9'(0.4 -! 0.9/), если <i - 2.
Используя табл. 18.2 или ряды Лорана 18.5.1 — 18.5.4
при
g, = 4.54009 85, «„ - 8.38537 94, найденным по табл. 18.3, получим
9(0.4) - 6.29407 07, 9'(0.4) = -30.99041, 9(0.9/) = -1.225548, 9'(0.9і) = -3.19127 03/.
Применяя формулы сложения 18.4.1 и 18.4.2, окончательно найдем
9'(0.4 + 0.9/) = 1.10519 76 - 0.56489 00/.
Вычисление а при заданном Z н произвольных g, и gs
(ил і произвольных периодах, по которым можно найти gz и ?а; периоды должны быть известны по крайней мере приближенно)
Вначале сведем задачу (если необходимо) к вычислению ->(-) в точке Z1 лежащей в фундаментальном прямоугольнике (см. 18.2). Далее, под точкой Z понимаем точку, лежащую в фундаментальном прямоугольнике.
