Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
14.6.2. L = O, р = О,
Fo = O, Ч-СоСч), Go - 1/Со(ч), Gj = -
14.6.3. L -*¦ со,
Fl- Cdn) Pl*1. GL--DI(I) р-ь.
14.6.4. L = 0, 1 = 0,
F0 = sin р, Fd = cos р, Go = cos Pr Oq = — sin р.
14.6.5. р -* со,
G1 + (Ft~ехрі|р - і) In 2р - ^ + »?j•
14.6.6. L =» 0, г] - О,
Fi = (*р/2)"> Ztws(P),
Gl = (- Dt (*р/2)М /-a„/ri(p).
14.6.7. L S 0, 2т] S> р,
^<2if>'"-'ли
(2Т1)1-+1
01 ~ ^'''зд^р)1'^
(2L + 1)1 CL(IJ)
14.6.8. L = O, 2т) »> р,
F„ ~ e-'t'(7ip)1'271[2(2»ip)1'!],
F; ~ «-"4(27171)"« /о[2(2^р)1/я],
Go ~ JCi[2(2T]p)"»]p
GJ ~ - 2 (2-0/7=)1'= е^АГ0(2(271р)"г:.
14.6.9. L= 0, 2т) > р,
Fd ~ J- ?e«, F; ~ - (He«, -2 2
Ga ~ ре-«, Сі ~ -?-'e-«
« = 2 7? -m), P = (р/2т))"«.
14.6.10. L = О, 2ц р,
F. ~ і ?e«, F^ ~ f ?-J + -і- (-»?'1 F., 2 1--84 J
С. ~ ?e-, Gi ~ ^ -?J + і- r'?'j G0,
' - р/Ч
« = 21) (И1 - /)]1" + atcsin I1'2 - it/2},
P - (I/O - O)1".
14.6.11. L - 0, p t> 2v],
F0 = a sin p, Fj = -('(SF0 - nCo), G0 - a cos ?, GJ = -PiaF0 + Ьвс), 1 = 2-ї)/ p.
U - ( J L (1 - /)• J
4 1 t 2 L 1 + (1 - /)"»J J a = Га(1 - b - [8y;(1 - 0Г*.
14.6.12. T1 J> 0, 27) ~ p,
Fl(t), p) 1 _ і Pt V» f Ai W _ Gl(4, p) J "Ii +L(L+ 1)/рУ і Bi ix)' PL =• T) + [г/ + L(L + l)]1«,
L Pl РІ J
14.6.13. 7) > 0, 2т) ~ p,
X = (27] - P) (27))-!«, [Go + 'Fol ~ 71^271)1" [Bi (x) + і Ai ix)], Wo + !-F,'] ~ -71^(27,)-1" [Bi' w + 1 АГ (*)].
14.6.14. 7] > 0,
Pl - T)> W + HL + 1)]"», F,.(pt.) 1 ГЩ)Ы"'Г
Gi(Pi)/V3 J ~ 2 V - l 3 J l'
Fl
GMpi
14.6.15. p = 2т) > 0.
F1 G«
f;
LiL + 1))-1"
r
I(Pi) Л J_ Г(ЭД) f j L(L+l)y
MpJ/ Vs J ~ 2 Vit Із J I P| J
>) > o, ¦
WVs J 2 V« ІЗ J
}~2VW
Г(2/3)
,,1/e'
- GJ/V3 J 2V7t (27)/3)1'
14.6.16. 7) oo,
"о(т))~|у + 7fln7J-l)j,
C0(T)) ~ (2717))"» Є"«
(при 7] > 3 формулы дают восемь верных значащих цифр).
14.6.17. 7) О,
Oo(T)) — - 'f) (Y — постоянная Эйлера), 2l Li
Cd.ті) >
(2L + 1)!
14.6.18. L- оа,
CL(T))
21 Ll (2L +,1)1 ' примеры
359
ПРИМЕРЫ
Вообще говоря, по приводимым здесь таблицам проводить интерполирование нелегко. Однако значения при L > 0 можно получить при помощи рекуррентных соотношений. Значения функции GiXrI, Р) можно получить, применяя рекуррентные соотношения для возрастающих значений L. Рекуррентные соотношения для возрастающих L можно применять также для функции FiXl3, р) до тех пор, пока неустойчивость процесса не приведет к накоплению погрешности, превышающей допустимую. В этом случае следует применить рекуррентную схему для убывающих L (см. пример 1),
Пример 1. Вычислить FlOi, р) и F', (т;, р) для 7)-2, P = 5, L = 0(1)5. Начиная с F^ = 1, Ki = 0, где F* = = сFl, по формуле 14.2.3 проведем вычисления для последовательно убывающих зітачепий L:
(1) И И И)
L п "L FL
11 0 Г
10 1
9 8 4.49284 17.5225
7 61.3603
6 191.238
J 523.472 0.090791 OMl 0.1043
4 1238.53 0.21481 0.215 0.2030
3 2486.72 0.43130 0.4313 0.3205
2 4158.46 0.72124 0.72125 0.3952
1 5727.97 0.99346 0.99347 0.3709
0 6591.81 1.1433 1.1433 0.29380
Fo!Ff = 1.7344 X IO-4 = cJ.
Значения во втором столбце получены из значений в первом столбце умножением на нормирующую постоянную FoIFq, где Fa — значение, известное из табл. 14.1.
Повторение вычислений с начальными значениями F1* — 1 и F*e = 0 приведет к тем же результаїам.
В столбце 3 даны результаты, полученные по формуле 14.2.3, примененной в направлении возрастания L.
F'l (столбец 4) получено по формуле 14.2.2.
Пример 2. Вычислить GiXr!, р) и G'jXji, р) для т] »* 2, р — 5, L = 1(1)5. Используя 14.2.2 и значения Go(2,5) = = 0.79445, Gq = -0.67049 из табл. 14.1, найдем GL(2, 5) = = 1.ORl5. Тогда гго рекуррентной формуле 14.2.3, примененной для возрастающих L, получим
L -Ot
1 1.0815 0.60286
2 1.4969 0.56619
3 2.0487 0.79597
4 3.0941 1.7318
5 5.6298 4.5493
Значаще функции G'L получено при помощи формулы 14.2.1.
Пример 3. Вычислить GiXrI, р) для i] = 2, р = 2.5 В табл. 14.1 находим Go(2,2) = 3.5124, G'0(2,2) = - 2.5554 Последовательным дифференцированием формулы 14.1.1 при L = O получаем
d**w » ч d*w , (dk+1w , d*-1»)
р--- = (2tj — p)--к J--h----I •
dp*+a dp* \ d?*+1 dp"-1 J
Из разложенияв ряд Тейлора w(p + Др) = w(p) + (Др)»/ + + ^y- w" + полагая w = GoC*], p) и Ap = 0.5, находим
І.'вр'и (Др)1
к dp* *! dp*
0 3.5124 3.5124
1 -2.5554 -1.2777
2 3.5124 ' 0.43905
3 -6.0678 -0.12641
4 12.136 0.03160
5 -29.540 -0.00769
6 83.352 0.00181
7 -268.26 — 0.00042
Co(2, 2.5) = 2.5726
Для проверки это значение было вычислено при 13 = 2, р = З, Д? = —0.5. Производную С^, р) можно получить по формуле Тейлора, полагая w = GilIrI, р). 361 14. волновые функции кулона
Таблица 14.1. Волновые фувкдии Кул
Fi>(n,p )
1 2 3
0. (- D - 1J 5.1660 о) 1.0211 1. 0432
1.0 2.2753 - 1 6. 6178 0 1. 0841
1. 5 J- 2) 8. 4815 - l) 3. 3159 - 1J 7. 3013
2. 0 - 2I 2.8898 - 1) 1.4445 -1 3. 9G61
2.5 - 3 9.3008 - ^ 5. 7560 -1) 1.9162
3.0 (- 3) 2.8751 - 2) 2.1538 - 2) 8. 4417
