Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
J л« л, J ад Л, JMO Л, J ад л
UO О JC
Для небольших значений дг целесообразно использовать формулы 11.1.2 и 11.1.7 — 11.1.10. Для достаточно больших х- следует использовать асимптотические разложения или аппроксимации многочленами 11.1.11 — 11.1.18.
3.05
Пример 1. Вычислить J JoiOdt с 5D. Используя
11.1.2 и интерполируя в табл. 9.1 и 9.2, получаем 3.05
j Jo(0 dt = 2(0.32019 09 + 0.31783 69 + 0.04611 52 + ' о
+ 0.00283 19+ 0.00009 72 + 0.00000 21 ] = 1.37415.
3.05
Пример 2. Вычислить J Ja(t)dt с 3D с помощью интерполяции в табл. 11.1, используя формулу Тейлора.
J Jo(0 dt = J JoiO dt + hJ0(x) - Y J1(X) + о о
+ ~ [/2(х) - J6(x)} + [ЗЛ(х) - -Zs(X)I + ... 12 96
Тогда при X — 3.0 и А = 0.05 находим
3.05
J MOdt=* 1.387567 +
+ (0.05) (-0.260052) - (0.00125) (0.339059) +
+ (0.000010) (0.746143) = 1.37415.
Это значение легко проверить, используя х = 3.1 и А = = -0 05. I Jil(X) I < 1 для всех д: и I Jn(x) \ < 2~lfs, п Ss Ip для всех х. В табл. 11.1 можно всегда выбрать | h I «? < 0.05. Таким образом, если пренебречь членами порядка O(Iii) и более высоких порядков, то абсолютная погрешность для всех X при і Л 1 < 0.05 ire превысит 21/2Л4/48 < <0.2-10_0. Аналогично, абсолютная погрешность цри квадратичной интерполяции не превышает Л (21/а + 2)/24 <
20 — под ред В. А. Диткина, Л. Н. Кармазиной 306
11. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ФУНКЦИЙ ЕГССЁЛЯ
Пример 3. Интерполяция интеграла ? yo(Y) dt с при-
U
формулы Симпсона осуществляется следующим
образом:
J Л(г) Л - j/о(/) Л + ] MOdf,
x+h
J ад dtро(А) + 4л + A j + Mx + A)j -h R,
R =---—Jiti(X), x<l<x + h.
2880
Далее,
AnM -
Шх) - 4/a(x) + зад].
IftJI <(Ш'
Следовательно, при I A I < 0.05 имеет место оценка | R | < 0.9-10-10.
Таким образом, если я — 3 и h ** 0.05, то
^ Л(0Л -- 1.38756 72520 + и
+ -2^1 [-0.26005 19549 + 4(-0.26841 13883) -6
- 0.27653 49599] = 1.37414 86481
с точностью до 10D. Изложенная выше процедура даст высокую точность. Однако приходится дважды интерполировать функцию для вычисления J0 ^ + — j
и Jo(x + А). Аналогичная процедура, основанная на применений формулы трапеций, менее точна, но при этом требуется только одна интерполяция функции J0(Jc).
Пример 4. Вычислить ^ J„(t) dt и ^ Yfj(I) dt с
5D, ис-
пользуя представление через функции Струве и таблицы гл. 9 и 12.
Для X — 3 из табл. 9.1 н 12.1 имеем
J0 = -0.260052, /, = 0.339059, Го = 0.376850, Y1 = 0.324674, H0 = 0.574306, H1 = 1.020110. Используя формулу 11.1.7, получим з
(адл-
- 3(-0.260052) j — [(0.574306) (0.339059) -2
Аналогично,
3
J Y0(I)Jz = 0,19766. i>
Используя формулу 11.1.8 и табл. 9.8 и 12.1, можно вычислить ^ /„(/) dt, ^ K0(I) dt.
'о (і) dt
J №)dt , ^ JMl
X X
j| гад - ^ Ku(t)dt
• (1.020110) (-0.260052)} -= 1.38757.
Для небольших значений х применяем формулы П. 1.19 — 11.1.23, для достаточно больших д- — асимптотические разложения или аппроксимации многочленами 11.1.24-11.1.31.
Кратные интегралы от функция Л(х)
Для небольших значений х и г используем формулу 11.2.4. Если г = 1, см. пример 1. Для небольших значений.? используем рекуррентную формулу 11.2.5, Случай, когда X — большое и X > г, рассматривается ниже.
Пример 5. Вычислить fr,0(x) = /т(х) с 5D для х = 2 и г — 0(1)5 при помощи соотношения 11.2.6. Имеем
rfniix) = Xfr(X) - (г - l)/r_j(*) + Xfr^(X)t
U(x) = -J1(X), Mx) « J0(X)t А(х) = J Jtl(I) dt.
о
Функции последней строки протабулированьт и для х = 2:
/-! = -0.57672 48, /о - 0.22389 08, = 1.42577 03. Рекуррентная формула дает
/а = 2(Гі+А) - 1.69809 10.
Аналогично,
/з «= 1.20909 66, ft - 0.62451 73, = 0.25448 17.
Когда X > г, удобно воспользоваться вспомогательной функцией
g,(x) = (С - 1)!*-™/,(*), которая удовлетворяет рекуррентному соотношению *Ъг.цМ = ад -(Г-if Sr-I(X) г (г - 1) (г-2) SrM,
г S.3,
їіМ - j Л« dt.
Bj(T) = S1(T) - ЛМ,
Ых) = tr'gsfx) - giW I хМх)1/х'. ПРИМЕРЫ
307
Пример 6. Вычислить gAx) с 5D для х т 10 и г ¦— 0(1) 6, Для X = 10 имеем
J9 -0.24593 58, J1 = 0.04347 27, Zi = 1.06701 13.
Таким образом,
ga = 1.02353 86, = 0.98827 49
и рекуррентный процесс для возрастающих значений индекса дает
gt = 0.96867 36, gs = 0.94114 12, gt = 0.90474 64.
Таблицы функции l~Tfr(x) см. в [11.16].
Кратные интегралы от функции К„(х)
Для небольших значений х и всех значений г используется рекуррентная формула 112.14.
Пример 7. Вычислить KirC*) с 5D для х = 2 и г =•¦ 0(1)5. Имеем
г Kir+i(x) = -л КІг(х) + (г - 1) Kir-J(X) + л Кіг-2(л), Ki-i(x) = AT1(X), Ki0(X) - K0(X)t
Ki1(X) = J ед du
Функции, стоящие в двух последних строках, протабули-рованы. Таким образом, для х = 2:
K0 = 0.11389 39, A'i - 0.13986 59, Kii = 0.09712 06
и
Kia = -2KU + = 0.08549 06. Аналогично,
Ki8 - 0.07696 36, Ki4 = 0.07043 17, Ki5«» 0.06525 22.
Если отношение х/г небольшое, начальные значения следует брать с запасными знаками, чтобы компенсировать рост ошибки округления в рекуррентном процессе. Таблицы Kir(X) см. в [11.11].
