Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
11.2.6. ґ/г+Jll(Z) - zfr,Jz) - (r - 1) /r_ll(,(z) + Zf,-,. Ji).
11.2.7. /rtl. .«(г) - /„,. .-!(z) - Ifr. Jz).
Пусть
11.2.8. Kk(z) ~ XJz),
Ki1(Z) - J K0(I) dt.....Kir(Z) = J KiM(r) dt,
11.2.9. KLr(Z) - (-IY — KJz).
dzr
Тогда
11.2.10. Ki,(z)- С •г1"''"
J chr і о
(Re z > 0, Re г > 0, Re z > 0, t = 0),
11.2.11. Kir(z)- C (і _ г)'"1 Ы T(z) }
it) it
(Re z > 0, Rer > 0),
11.2.12. Ri2r(O) - -('> Г(3/-2І (Re r > 0), + 1/2)
11.2.13. Kiirtl(O) -
Hr + 1/2)
(Rer>- 1/2),
2 V(III) Г(г + 1) 11.2.14. r Kirtt(Z) =
- -z Kir(Z) + (r - 1) Kir_i(z) + z Kir-,(z).
11.3. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ ДЛЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Положим
11.3.1. JTli,„(г) - J e-f VZJl) dt,
где ZJz) представляет какую-либо из функций Бесселя первого, второго или третьего рода или какую-либо из модифицированных функций Бесселя. Параметры а и Ь, входящие в формулы приведения и зависящие от конкретного типа функции Бесселя, даются в следующей таблице:
11.3.2. ZJz) а Ь JJz), YJz), Hil1Xz), Н<?>(z) 1 1 !Jz) -1 1 KJz) 1 -1
UJJ. .WTtlnl(Z) = -e-"z*ZJz) +
+ (f + V) JTli-I, ,(г) - OJ11. vtl(z). 11.3.4. ,+,(г) ¦=¦ -C-^ZvtI(Z) +
+ (С - » — 1) S i»-l, v+l (z) + bgv.,Jz). U.3.S. (р* + ab) u.Jz) - «Г»М„Й + + (ц - і - 1) C-VzV-1ZJz) - ptr"z»ZJz) +
+ р(2ц - 1) S1,-!. Jz) + Ivs - (И - l)!] SV,. Jz). 11.3.6. o(v - ц) wl(z) - -2ie-0'zV-ZJz) -
- гVpglk jz)+ к її + v) v_,j(jr).
Случай Ir p1 + ab - 0,
№ - D
' Zvtl(Z)I
11.3.7. Sv, Jz) =- J Zv(Z) - —
2v + 1 I p j
11.3.8. g-,,. Jz) ---J ZJz) + - Zv-,(z)
2v - 1 I p I
11.3.9. [e'VJJt)dt - —— (Zv(Z) - iVvti(z)! J 2v + 1
11.3.10. Je
'l-4JI)dl -
(Re v > - 1/2).
- UJz) f iJrJz)] +
2«(2v-l)r(v)
(" * 1/2).
11.3.11. Jc
1.3.11. А'вдл= —— [ад - ii-vtt(z)] -
2v + і
І2'"Г(. + 1)
^(2 V + 1)
(Rev > -1/2). 11.3. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ ДЛЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
301
11.3.12. \ ^WvMA = —— Щг) T /,«(г)]
J 2v + 1
о
(Re V > -1/2).
11.3.13. ^ е- 7,(1) A - ze-' UJiz) + h(z)l +
+ п [е-'«г) - 1] + 2е"» (» - *)
11.3.14. J
I-VM Л= - —- [/»(г) =F /v-iW] T 2v - 1
1
24_1(2v - 1) T(v) Интеграл Книга (см. [11.5])
(V 1/2).
г e±V+1
11.3.15. і е*'ҐА\(і) dt - ї-і-7 [ВД ± JCvtrfz)] 1F
2v + 1
T2T(v±i) (Rev>„,/2). 2v+ 1
11.3.16. J е'ВДА = ze'[j:»(z) + AT1(Z)] - 1.
11.3.17. J
dt - ---[№) + AV1(Z)I
2v - 1
(Re V > 1/2).
Случай 2: p = 0, fi =¦ ± v
11.3.18. Jsw(Z) = Z^v(Z).
11.3.19. ug-v, vtl(z) = -z-»Zv(z).
11.3.20. J (V„-i(0 dt - zVv(z) (Re V > 0).
I-Vvtl(I)A- -
11.3.21. f. ....______
3 2T(v + 1)
Q
11.3.22. 2^ j^fJl - •
- z"V,(z).
? (2к - 1) /,t-i(z).
11.3.23. (2n + 1)
.- {lk - " (л>0>' Z S-»+l
-Wi(I) dt
Г Л: 'і и I J I
. ^ JMdt - J1(Z) - J «а«-
11.3.24. C f Yrl(I) dl - z- rv(z) h (Rc „ > o)
11.3.25. J ['
11.3.26. ^
1V1(I)A ^ z»/v(z) (Re V > 0).
IVvtl(I)A - z-ВД -
1
2T(v -I- 1)
11.3.27. J Ґ'К,
i(I) dt ~ - z»Kv(z) + 2»-> T(v)
(Re V > 0).
11.3.28. J I-vAV1W dt - z-"ATv(z).
Неопределенные интегралы от произведений функций Бесселя
(®ii(z) и ®y(z) — любые цилиндрические функции порядков и V соответственно)
11.3.2'». Jj(A!-f«)l- Jell(Itoe^ff) А-'
= Z {k Slvfl(Az) av(/z) - I Sll(Uz) Svtl(Zz) ( -
-(И - V) S11(Az)Sv(Zz).
11.3.30. J I-K-^elltl(I) Svtl(I) А -
2(|х + V + 1) 11.Э.31. ^ t^^SJJ) Sv(I) Л
(S11(Z)SvM + V1(Z)Svtl(Z)).
¦Jfi„(z)Sv(z)+ Slltx(Z) Svtl(Z)).
Чу- + M + 1)
11.3.32. ІUUMdt^I ? (v + 2*o/;t№<z)
J 1_0
11.3.33. JrtV1M - .ViMlA = 2V^(Z)
(Re V > 0),
(Re V > 0).
11.3.34. ^1.?
!(DA--№) + ф)].
11.3.35. ^J»(l)/»tl(l)A = i[l -
Jl(Z)I -
- S № = ? -ОМ- Э02
і I. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
11.3.36. (SI I V) J J-1S11(I) ЭЛОЙ-
- (|1 1 VH- 2л) ^ I 1SplMQnM л -- SJz)Sj(z) I E„,u(2)®,is(z) I
+ 2 V SllhlMajht(Z). A= 1
Интегралы типа свертки
11.3.37. (J11MJvfc-I) dl - 2 J (-1)4.1-. a iM J fc-=o
(Re ц > - 1, Re V > -1).
11.4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
11.3.38. ^ Jv(I)Zi Jz - I) Л J„(2) - cos, z о
(-1 < Re V < 2).
11.3.39. J J»(()J -,Iz - і) dt - sm; (I Re v I < 1).
^ r'J
(Re [і > 0, Rc V ¦> -1).
Г JJl) JJz-j) dl ^ ([J-I у) J11,,(--)
I Kz - г)
[1VZ
(Re > 0, Be V > 0)
Свойства ортогональности фумкпий Бссселя
Пусть 2у(г) — цилиндрическая функция порядка v. В частности, пусть
11.4.1. SJz) « AJJz) I BYJz),
где 4 ч !>- - действительные достоянные. Тогда при О < а< b
ъ
11.4.2.*). J tejK,l) ej>.„t)dt - 0 (т # и),
ь
ie?.„,t)ej).„t)dt -= [т ,s{(' - 7$)є5г'-!) + ^1"''}]"
(ш - п),
если выполняются следуюшие два условия:
1) Xn — действительный нуль уравнения
11.4.3. /i1XSvll(Jb) - ZiA(XJ) 0;
2) должны существовать такие числа и к2 (оба ие нули), что для всех H
11.4.4. Z4XliSv й(Х„<і) - fee,(/.»o) - 0.
Если а = 0, то сказанное выше справедливо, когда В — О-В этом случае имеем t '
11.4.5. J IJV(».I) Jv(a»f) dt - 0 (тфп, v> -I),
I
^ IJJcmt) JJ-x,t) dt =
= — UK"»)? ('" = Л. ь ^ 0, v> -1), 2
