Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
(II) Предположим, что требуется най ги JqO.55), JjQ .55), J10U-55) с 5S. Для этого можно найіи истинные значения Jin(1.55) п JnO .55) с 5S интерполяцией в табл. 9.3, а затем вычислить требуемые J8, Js, ...,J0 по рекуррентной формуле. Но можно начинать рекуррентный проїтесс с более высоких значений N и сохранять только 5S в пробных значениях для п -H 10.
(III) Аналогичные методы могут бьпь применены к вычислению модифицированной функции Бесселя 1п(х) с помощью формул У.6.26 и 9.6.36. Однако, если х велико, то при использовании соотношения 9.6.36 произойдет значительная потеря значащих цифр. Поэтому для нормирования лучше использовать формулу 9.6.37.
Пример 2. Вычислить Ул(1.55) (и =0, 1, 2, ..., 10) C 5S.
Рекуррентная формула + Fjm(X) — (2я/л) Yn(x)
может быть применена для вычисления У»(х) в направлении возрастания п как для п < х, л ак и для п >х, потому что Ynix) — возрастающая функция п.
Вычислим У0(1.55) и 1^(1.55) интерполяцией в табл. 9.1, значения У2(1.55), У8(1.55), ..., У10(1.55) получим по рекуррентной формуле и проверим У10(1.55) интерполяцией в табл. 9.3.
я Г„( 1.55) я IrO(I-SS)
0 +0.40225 6 — 1.9917x103
1 -0.37970 7 —1.5100 X IO3
2 -0.89218 8 -1.3440x10*
3 -1.9227 9 -1.3722x10=
4 -6.5505 10 -1.5801 X 10"
5 -31.886
Примечания. (I) Если имеются значения функции JoOO, J3(X), J4(X), ... (см. пример 1), то вычисление значении У„(х) можно сделать, применяя формулу 9.1.89. Второе начальное значение для рекуррентного процесса — ¦— У](х) -- можно получить из вронскиана J1(X) Уп(х)— — Jo(X) Уг(х) = 2I(tzx). Эта процедура удобна при использовании вычислительной машины.
(Tl) Аналогичные методы могут быть применены для вычисления модифицированной функции Бесселя Кп(х) посредством рехуррен того соотношения 9.6.26 и формулы 9.6.54.
Если же X — большое, то для вычисления ЛГ0(х) вместо 9.6.54 (из-за потери значащих цифр) предпочтительно применение асимптотического разложения 9.7.2 или аппроксимации многочленами 9.S.6.
Пример 3. Вычислить Jo(0,36) и У0(0,36) с 5D, применяя теорему умножения.
Из 9.1.74 имеем
S0(Xs)= S ^ek(Z),
A = О
где с-Ц* ELt-IWZ)!,.
kl
Берем г - 0.4. Тогда А *= 0.9, р.а - 1) (г/2) = -0.038 и, выбирая необходимые значения Ja(0.4) и VV (0.4) из табл. 9.1 и 9.2, вычисляем нужные результаты следующим образом:
к ак пШ0.4)
0 + 1.0 + 0.96040 -0.60602
1 +0.038 +0.00745 -0.06767
2 +0.7220 X 10 » -I 0.00001 -0.00599
3 + 0.914Х 10"» -0.00074
4 + 0.87 ,< 10-' -0.00011
5 + 0.7x10""» -0.00002
Jo(0.36) - +0.96786 Уо(О.Зб) - -0.68055
Примечание. Эта процедура эквивалентна интерполяции посредством ряда Тейлора
<2о(г + h) = -- Sftz) A = O
при г — 0.4. Производные и 1 (z) выражаются через Sll(Z) с помощью рекуррентных формул и дифференциального уравнения для функции Бссселя.
Пример 4. Вычислить Jv(x), JCOt), Уу(х) и УС(х) для V - 50, л- = 75 с 6D.
Используем асимптотические разложения 9.3.35, 9.3.36, 9.3.43 и 9.3.44. Здесь г =x/v = 3/2.
Из 9.3.39 находим (2/3)(-08'2 = V5/2 - arccos (2/3) = +0.2769653. ПРИМЕРЫ
207
Следовательно,
Г AT -|v4
г; - -0.5567724 и Iy^l = + 1-155332.
Затем
v»/a = 3.684031, v*'3? « -7.556562.
Интерполируя в табл. 10.11, находим, что
AUve^O = +0.299953,
Ai'(v2/30 = +0.451441,
Bi (vs/«o = -0.160565,
Br(Vsrt)S = +0.819542.
Для контроля интерполяции используем равенство AiBi' — — Ai'Bi 1 j тс.
Интерполируя в таблице, которая следует за формулой 9.3,46, получим
ЫО = +0.0136, ыо = +0.1442.
Членами, содержащими ві(0 и <?х(0> можно пренебречь. Подставляя найденные величины в асимптотические разложения, находим
Ло(75) = + 1.155332(50-1/3 х 0.299953 +
+ 50"5/3 X 0.451441 X 0.0136) = + 0.094077, J'n(75) = -(4/3) (1.155332)"1 (5(Г"* X 0.299953 X 0.1442 + + 50"2'3 X 0.451441) = —0.038658, 7^(75) = —1.155332(-50~1/s X 0,160565 +
+ 50"6/3 X 0.819542 X 0.0136) = + 0.050335, *"и(75) - + (4/3) (1.155332)-1 X 0.160565 X
X 0.1442 + 50-2/3 X 0.819542) - + 0.069543. Для контроля используется тождество JY' - J'Y---- 2/(75тг). Примечание. В этом примере можно также использовать разложения Дебая 9.3.15, 9.3.16, 9.3.19 и 9.3.20. По сравнению с вычислениями, проведенными выше, где было взято по 2 члена, в каждом из разложений Дсбая требуется брать по 4 члени. Когда значения аргумента и порядка близки по величине, разложения Дебая стаповятся мало эффективными. В этом случае результаты с небольшой точность/о дадут разложения 9.3.23, 9.3.24, 9.3.27 и 9.3.28; для получения высокой точности снова используются равномерные асимптотические разложения.
Пример 5. Вычислить пятый положительный нуль функции 7]0(jc) и соответсівующее значение JrIoW с 5D.
Используем асимптотические разложения 9.5,22 и 9.5.23, полагая v =- JO, і 5. Из табл. 10.11 находим
а5 = -7.944134, Ai' (я;) = + 0.947336. След о вательно,
С = 10-2? = 0.21544347<75 = -1.7115118. Интерполируя величины, определенные формулами 9.5.26 в таблице, следующей за этой формулой, получим z(l) = + 2.888631, /г(0 -= + 0.98259, Л(0 = + 0.0107, J=i(0 = -0.001.
