Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
9.10. AC SIM !ITO ГІІЧFCKIIГ. РАЗЛОЖЕНИЯ
Асимптотические разложении при больших значениях аргумента (v фиксировано, X — большое) eW2
9Л0Л. Ьегу л: -- [fv(x) cos a + ?v(*) sin к} -
л] Inx
— {sjn (2v7u) kerva + cos (2vtc) Iceiv x}l~.
„»/Vi
9.10.2. bei» X = _ ІЛ(х) sm а - ?,(х) cos а} +
У2ях
-f { cos (1J—) kerv X — sm (2v7r) keiv л } /п.
9.10.3. kerv X =
= V':/(ад v^ {/,(-*) cos P -- ?,(-x) sm ? }
9.10.4. kei, X =
- { -Л (-л) Sin P - gv(- г) COS P і,
9.10.5. а = (x/V2) + (v/2 - 1/8)п,
P = (x/V2) + (v/2 4 1/8) u = ж + тг/4.
Обозначая 4va через имеем
9.10.6. Л(±х) ~ 1 +
fcf i'(8x)* UJ
9.10.7. ?v(±x) ~
. . Af- „» (ix -DO- 9) - (2k - 1)'} _m fbrl Ы k'VSxf ' Ui
Члены разложения **), содержащие kerv x и keiv x в разложениях 9 10 1 и 9 10 2, незначительны по сравнению с другима членами, но их включение в вышелепил улучшает точность.
*) В [9 22] даются значения также и следующих пяти нулей кажлои из этих функций, точность 5D
**) Коэффициенты этих членов, данные в [9 17], неверны. Настоящие результаты получены Миллером. ФУНКЦИИ КЕЛЬВИНА
203
Соответствующие ряды для beiv*, bei'. V. К or' X и kei'j (л) могут быть получены из 9.2.11 и 92.13 при :: -=. • Дополнительные члены л разложениях bei; х и beiv х соответственно таковы:
{sin (2vtt) kerv х + cos (2vti) keiv л-},
(1/л) { cos (2vjt) ker; x — sin ( ?:'¦--) kei; x }.
Модуль и фаза
9.10.8. Mv ™ -Jbai X + bei? x, Ov = arctg(bciv х/Ьмv д).
9.10.9. berv x = Mv cos Ov, beiv * = Mv sin Ov. 9.10.1». M-„ = Mn, 0_ =¦ 0, - ял.
9.10.11. Ьег; * -
= — Mvil cos (6V., — л/4)--- Mv-1 cos (Ov-I — ::/4) -
2 2
= (Vlx)M4 cos Ov + Mv„ cos (0V+1 — л/4) =
= -(ї/ї)?, cos Ov - Mv-j cos (Ov-! - л/4).
9.10.12. bei; * =
— — Mv+1 sin (6V+1 — л/4) —- .!/., і sin (''/, є — x/4) — 2 2
= (v/x) Mv sin 6V + Mj ..і sin (0v+i — л/4) =
= — (v/x) Mv sin 0y — Mv-i sin (0.,-i — tt/4).
9.10.13. ber' X = Mi cos (O1 - tt/4), bei' X = AZ1 sin (0, — it/4).
9.10.14. М; - (v/x) Mv + Mylj cos (Ovtl -Ov- я/4) =
- - (v/x) Mv - Mm cos (0v-j - Ov - тс/4).
9.10.15. 0; = (MvH/Mv) sin (0V+1 - 6, - л/4) =
= -(Mv-!/Mv) sin (0v-i -0V- л/4).
9.10.16. м; =» M1 cos (O1 -O0- Tt/4),
OJ - (MJM11) sin (O1-O11- л/4).
9.10.17. rf(xMje;)/u'x - xMJ,
XaM^ + i.if, - VaMv = XsMvO;"
9.10.18. Wv = VkerS І + kei; x, Фч = arctg (keiv x/kerv x).
9.10.19. kerv X — Av cos Фч, keiv x = JVv sin <I>V.
Уравнения 9.10.11 — 9.10.17 остаются в силе, если в них заменить bei, bei, М, 0 па kei, i.e., /V, ф соответственно. Вместо 9.10.10 имеем
9.10.20. JV-v — JVv, 0-v = Ф„ + vn.
Рис. 9.10. Ьег х, bei х, ker х и kei х
ei 1
\ Ln/?
¦
ber
'4V /ьщ
- Аїр* /
%
" 1 Z 3 4 5 S 7 S
ZO
Рис. 9.11. In Mtl(x)i 0о(х), In N0(x) и Фа(х).
Асптто-тчсскмс разложения для модуля к фазы (•у фиксировано, X — большое и ц = 4v2)
9Ж».М,~4?/l-ІЦІІ+ ItrJJLJ-
V 2лх ( 8 -J2 X 256 X3
(Ц - 1)(иа + 14[i. - 399) 6144 4Ї
9.10.22. In Mv
V 2
¦ J- 1п(2»х) - і
2 8^2 X
(ix - 1) (іл - 25) 1 Q1- р(ц- 13) 1
384 V2
128 X4
.ї-1 1
9.10.23. Ov= -?=- + f- - -} л + - +
V2 12 SJ 8 л/2 X
+ f- 1 J_ _ (H — 13 CH- — 25) _1 16 x' 384 -Ji X1
9.10.24. JVv = Y- {l + i^i 1 +
\ 2x 1 8 V2 X
(kt'+ -
6144 %
W-
-(7)-
-(7)}- 204
9. ФУНКЦИИ ЕЕССЕЛЯ ЦЕЛОГО ПОРЯДКА
9.10.25. In N,
_ i^J 1
л/2 Т 2 *"І2xj ^ 8 V2 _ (ц- 1)(ц-25) J_ _ (H-Dt1I- 13) 384 V2 х» 128
9.Ю.:
±+о{±
X1 Ixs
.26. Ф,_ * -U + iU-itrJ-l + V2 1.2 S J 8 л/2 X
, К - 1 1 ,([» - 1) О - 25) 1 , „( 1
H----1-----^--т- О I —
16 Xа 384 л/2 X3 Ix5
Асимптотические разложения для произведений функций (х — большое)
9.10.27. ber0 X + bei' X 1 I
Zff1 + 1 ± +
2кх I 4 у/2 X
+ -L. 33 1 1797 1
64 X2 256 л/2 х* 8192 я4
9.10.28. ber X bei' X — ber' х bei х "
-_¦ „L . і і , 9 _ , J_ +
lux W2 Sx 64 V2 X2 512 x»
8192 V2 X4
9.10.29. ber X ber' x + bei x bei' x -
Pj1 ( 13 1 15 1___45__1_
2 ^x {j2 8 X 64 -Jl Xа 512 xs +
8192 л/2 X4 і , ,
9.10.30. ber' x + bei' x ~ -- 1--і=. - +
2ux I 4 л/2 X
+ --T-
64 X
75 J_ _2475_ 256 42 x" 8192 X4
9.10.31. ker! X + kei® X
V Ф X
1 1797 1
+ _L_L+.
64 X2 256 -Jl X3 8192 X4
9.10.32. ker X kei' x - ker' x kei x ~
-'Vif1 1 1 , > 1
2x IV2 8 X 64^2 Xs
_ _39_ J_ 75 1 512 Xа 8192 V2 X1
9.10.33. ker X ker' x + kei x kei' x ~
2x IV2 8 X 64 -J2 Xа Т
+ + ...
+ ^гЛ +
315 1
512 X3 8192 -Jl X4
9.10.34. ker' X + kei' x
64 Xа
2x {
75 J_ 256 V2 x'
4 V2 X
8192 X4 J
Асимптотические разложения больших вулен Пусть
9.10.35. /(8) = u^l + unl + - '>(5" + 19) +
168 32Sa 15368а
5128"
где ц - 4va. Тогда, если f — большое положительное целое ЧИСЛО, TO
9.10.36.
Нули функции
ber, X ~ V2 (8 - /(8)}, S = (j - v/2 - 3/8) тг;
НУЛИ фунКЦНИ
bei, X ~ -Jl {8 -/(8)}, S = (j - v/2 + 1/8) и;
нули функции
ker, X ~ -Д{8 +/(—8)}, S = (s - V/2-5/8) it;
пули функции
