Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
ФУНКЦИИ КЕЛЬВИНА
В этом и следующих разделах v — действительное, X — действительное неотрицательное, ал — целое положительное или нуль.
Определения
9.9.1. berv X + і beiv(x) = J^(xewili) =
= BvntJv(X^in) = eml f2Uxen"4) -
— il2Iy(Xe-s^ili)
9.9.2. kerv X + і keiv x = е~т1/2А\(хе™'*) =
= 1 пі Hi1Kxe3nil*)= - - nie-™1 m,%Kx<r*i!l). 2 2
В случае v=0 индекс v у функций Кельвина обычно не пишется.
Дифференциальные уравнения . 9.9.3. x2w" + xw' - (їх2 + vа) w - 0,
W = berv X + і beiv х, ber_v x т- і bei-у .v, kerv X + / kei« x, ker_4 x + і kei_v x. 9.9.4. X4WiV + 2xV" - (1 + 2Vs) (xV - xw') + + (v4 - 4va + X*) W = 0, w — ber±v x, bei±v x, ker±v X, kei±v x.
9.9. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И СВОЙСТВА
Соотиошепзя между решениями
9.9.5. ber_v x — cos (v~) berv х + sin (vk) beiv x + + (2/7c) sin (v7c) kerv X,
bei_v x'— —sin (vit) berv X + cos (vre) beiv x +
+ (2/n) sin (vtt) keiv x.
9.9.6. ker_v X = cos (vTt) kefw x — sin (vtt) keiv x, kei_v X — sin (v7t) kerv x + cos (v7r) keiv x.
9.9.7. ber_„ X = (-1)* bernx, Ьеі_я x = (-l)»bei» x.
9.9.8. ker_n x = (-1)" ker« x, kei_n x = (-1)« kei„x.
Разложения в степеїшон ряд
9.9.9.
COS і f — v + — 71:1
.....U4 2 I fjx'Y
Ы jM ИГ(<+Н1) I 4 J
„, sin { (— v + — fc] 7Г I
f?V"O 1І4 2 J 1 fx» j*
UJ fci kl T(v + к + 1) UJ
be і.j X — 9.9.10.
(2!)2 (4!)2
? 4
ow ow
(3!)" (5 !)a ФУНКЦИИ КЕЛЬВИНА
201
Ot-к- 1)! CxM* , fx) . ,Iu-
X ------I— — In — ЬеГд X H--Trbei7lX +
к! UJ UJ 4
х {ф (к + 1) + ф(в + к+ 1)} ш
к\п + /С)! UJ'
-1(fr&4(r ^ftIicIx
„(п-Jfc- 1)! CxM1 , fx] г ¦ 1
X -— I — I — In — bein X--тг ber« X +
k\ l 4 J UJ 4
[{i)
Щк + 1) + ф(п + к + 1)} j X^ts
Jt !<и + Ar) [
где ф(л) определена формулой 6.3.2.
9.9.12. kcr X - -In - ber х + - Tt bei х + 2 4
fro {?2/0!}2 { 4 J
kei X — —In — bei X -2
it ber X +
A , Ф(2/с + 2)
hi № + 1)!}2 UJ
Функции от отрицательного аргумента
Вообще говоря, функции Кельвина имеют точку ветвления при X —¦¦ 0; при этом функции аргумента xeL~% являются комплексными. Однако, когда v — целое, у функций berv и beiv точка ветвления отсутствует и
9.9.13. Ьгги(—х) = (—1)и berB х, bei„(= beinx
Рекуррентные соотношения
9.9.14. U1 + _ - (Л - г>),
Л = Vw-1 + ^vt1-/«-I -
Л - — Л = 4_ (Л+1 + г» н),
X V2
1
Л + - А
X
где решениями являются пары функций
72 +
erv X ) :iv X }
/v = beiv X
/v = keiv X
9.9.15. ft = berv * | gv == beiv /v = ker, X ]
= keiv X ) gv — —kerv X J
9.9.16. a/2 ber' X — berjL X + beij. x, л/2 bei' x — —ber! X + beit x.
9.9.17. V2 ker' X ketj x + keii
-s/2 kei' x = — keti X + keii x. Рекуррентные формулы для произведений функций Если
9.9.18. /Jv = Ьег$л + bei$x,
= ber у X beiv X — beb X beiv x, rv = berv X berv X + beiv * beiv x,
Sy — berV X + beiv x,
9.9.19.
PvU- Pl-I
4v
?v+1 -----^v + r4 = + 2rw,
¦ X
(v + 1)
Гу+1 = —--/>V+1 + <?V.
1,1 Vа
= — Z1V-H + —pv-1--Г Рч>
2 2 Xz
9.9.20. pvSv = r$ + Чт
Формулы остаются такими же, если повсюду заменить ber и bei соответственно на Rer и kei.
Неопределенные интегралы
В приведенных ниже интегралах fVy gv — любая из пар функций, заданных формулами 9.9.15, a/*, g* — либо та же самая пара, либо любая другая.
9.9.21. \x1+v/vJx =
(fv+l — ?Vn) =
9.9.22. J X1-Yv dx =^ (/v-i - ?v-i) :
9.9.23. \ x(f,S* - gv/'4) dx -
2Л<2
{/ї(Ли + Svn) — sK/v+i — їч+і) —
-MAh + ri+i) + ?v(/wi — Ai)}--
= T (/;/; - л/!' + гл - л«:'). 202
9. ФУНКЦИИ ЕЕССЕЛЯ ЦЕЛОГО ПОРЯДКА
9.9.24. лй I g-,fX)dx - .r(2/vs; -Uigln -
— Лі«!-1 + 2«»/; - ?v-i/lti — Svn/t-i).
9.9.25. J -*(/5 + s5) rfx ' *(/vSl - /ІЇ,) -
= —Ы Utfn-I + SvJv 1 -ASvJl + /*ll?v)-
9.9.26. J x/„?v rfx = -J A2/vgv - /v-iSv+і — /» HSV-i).
9.9.27. J т(/ї - г5) <f* -
= -j x'uv - /v-i/vt1 - sv + sv-l?vu)
Разложения произведений функций В Степенной ряд
9.9.28. ЬегЗ * + bei; x =
(2) Sr(v-
X bejy X — b
r&
» + к + 1) T(v 4- 2/c H- 1)41 9.9.29. bcr.j x beii л — bcr\, л bciv л =
fxl2v+l ® (X2Ws
l 2 J OIXv+t + l)r(v + 21 + 2)t!' 9.9.30. bcrv X beri X -1- beiv x bci'v x —
OW
2(2) Si
fc^r(v + H l)T(v 4- 2k)k\ 9.9.31. beri' .г 4 beii1 X =
= (^Y'-2 fy (2?' + 2vk + v3/4)_ jV/4)»
I 2 і i=o № + * + D I'(v +2k [- 1) кі
Разложения но фзнкцрим Ьесссля е(3.„»М4
9.9.32. bet, \ -І і bei, 1 =- 2_i---
24-U
= E
a = o
g(3v43fe)TO/4xft/v4fc(y)
9.9.33. ber«(W2>- S ( — I) яx) I2Jtix),
Ьеіп(хл/2) = S (- l)n+t/„+2*+1W Itltjrl (r)
A=-CO
Нули функций нулевого порядка *)
Ьег X bei х ker X kei X
1-й нуль 2-й нуль 3-й нуль 4-й нуль 5-й нуль 2 84892 7 23833 і 1 67396 16 11356 20.55463 5 02622 9 45541 13 89349 18.33398 22 77544 I 71854 612728 10 56214 15 00269 19 44381 3 91467 0 34422 12 78256 17 22314 21.66464
ь., ker' X kei *
1-й нуль 2-й нуль 3-й нуль 4-й нуль 5-й нуль 6 03571 10 51364 14 %Ч44 19 41758 23 86430 3 77320 8 28099 1274215 17 19343 21.64114 2 66584 7 17212 11 63218 16 08312 20 53068 4 93181 9 4040 і 13 8-4827 IS 30717 22 75379
