Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
Связь с функциями Лежандра
Если у. » z фиксированы, Re z> 0 и v-> со, принимая действительные положительные значения, то
9.6.49. Iim jv^-" Jch -j| = Mz),
9.6.50. lim j Jch - jl - Kii(Z).
Определения и Ov см. в гл. 8.
Теоремы умноження
к\
(IX3-H <1).
Если % = / я взяты верхние знаки, ограничение на А не нужно.
9.6.52. Ш = У) — Jv+^z).
u-i. к\
4z) - ? (- D* fy A+t(z).
Ряды Неймана для Kn(z)
9.6.53. JsTn(Z) - (-1)»-1 {In (г/2) - ф(и + 1)} U(z) +
, пШ)-п w^n» mth(z) 2 & (п-к)к\
+ (_ пя (п±2к) Л,, а* (z)
jfo *0» + AJ
9.6.54. K0(Z) - - (In (z/2) + у} Ш + 2Y] ¦
A=I к
Нули
Свойства нулей функций /.,(г) и Я./г) могут быть получены соответственно из свойств нулей функций Jv(Z) aH^'(z) с помощью соотношений 9.6.3 и 9.6.4.
Если —2к< v<: — (2& — 1) (/с — целое положительное), то функция /у(г) имеет два действительных нуля. Для всех остальных действительных v нули функции /v(z) комплексные.
Приблизительное расположение нулей функция Kn(z) в области —3"/2 aig z «« тт/2 получим, если повернем рис. 9.6 на угол —тс/2 так, чтобы разрез приходился на положительную часті, маймоГг осн. Нули, находящиеся в области —-/2 arg z =S 3 тг/2 являют ся сопряженными с нуіями. расположенными в области - Зг/2 «S arg z =ґ тг/2. Функция A'j,(r) не имеет нулей и области |argz| =S тс/2. Это справедливо и для функции A'v(z) любого действительною порядка. V МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
199
Асимптотические разложения при <5ojn.uiHx значениях аргумента
Пусть v фиксировано, I z! — большое ЧИСЛО И !I - 4v3. Тогда
9.7. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 9.7.6. IJz) KJz) -
1 ¦ 1 (J1 - DO - 45)
9.7.1. IJz) -
V
3!(8-):
=I1
!яг [
2 IfS;)2
- И) +...), (| alg г| < „/2),
9.7.2. KJz)~ ]/2" , Q - 1)(ц - 9) Q - 25)
3 '(Sz)3
, ,?11 , Ojr D о_- »
^ ъг 2'(8z)3
+ ..Л (largzl < 37=/2),
9.7.3. IJz) <•
й+Ал. DOj + 15>
Q - DQ- 9) Q + 35) 31(Sz)3
1 +
+ (Iargzl < те/2),
9.7.4. KJz) •
V- + 3 8z
Q - DQ + 15) Q- l)Q-9)Q+ 35) 2l(8z)s 3l(8z)3
(I arg zI < Зте/2).
Общие члены разложений 9 7.3 и 9.7.4 могут быть выписаны из соотношений 9 2 15 и 9 2.16.
Пусть V — действительное неотрицательное, Z- положительное и в разложении 9 7.2 взято к членов. Тогда остаточный член этого разложения по абсолютной величине не превосходит (к + ])-го члена и имеет тот же знак при
к > V - 1/2.
9.7.5. IJz) KJz) ~ J- |і _ і. Ї-І +
2 г 1 2 (2 zf 1 ¦ з (ц- DO - 9)
2-4
(2z)<
Ц-9) _ 1
I* "7
(I arg zl < те/2).
— Jl + --
Zz 1 2 (2z)
2-4
(2z)1
(I arg z I < я/2);
Об цчс члены могут быть получены с помощью соотношении 9 2 28 и У 2 30.
Равномерные асимптотические разложения при больших значеннях порядка
9.7.7. Wz)*
1
V2UV (1 + z')1'1
j I + g-ifiT-J-
-(і^e-Jlт.
9.7.9. IJvz)-
9.7.10. Jfi(VZ)-
Когда V —+ + со, эти разложения равномерны по z в 1
секторе I arg - І — те — є, где є — произвольное поло-2
жигельное ЧИСЛО. Здесь
Vl +2
Vl + Z3 + In
1 + Vl + Zs
и Hft(f), vk(0 задаются формулами 9.3.9, 9.3.10, 9.3.13 и
9 3 14 В [9 381 см і аблииы для т), U1 (!). vh(l), а также оценки омагочпых членов разложений 9.7.7—9.7.10.
9.8. АППРОКСИМАЦИЯ МНОГОЧЛЕНАМИ *)
В уравнениях 9.8.1 — 9.8.4 t = л/3.75.
9.8.1. -3.75 Si« 3.75, IJx) = I + 3.51562 291' + 3.08994 24(* + 1.20674 92/« +
+ 0.26597 32(* + 0.03607 68!1° + 0.00458 13(1а + Є, I el < 1.6- 10"'.
9.8.2. 3.75 & X < а>, хше-*Мх) - 0.39894 228 + 0.01328 592г1 +
+ 0.00225 3191 J - 0.00157 565Г3 + 0.00916 28l! 1 -
- 0.02057 706rs + 0.02635 537Г3 - 0.01647 633Г1 +
+ 0.00392 377Г* + є, I с| < 1.9- 10-'. 9.8.3. -3.75 «х< 3.75.
I--ViM=- — + 0.87890 594(3 + 0.51498 869(4 + 2
+ 0.15084 934(' + 0.02658 733г» + 0.00301 532(10 +
+ 0.00032 411(11 + І
I е| < 8- Ю"',
*) См. сноску на стр. 191, 200
9. ФУНКЦИИ ЕЕССЕЛЯ ЦЕЛОГО ПОРЯДКА
9.8.4. 3.75 < х < 00,
XWe-ZJ1(X) = 0.39894 228 - 0.03988 024Г1 -
- 0.00362 018Г! + 0.00163 801Г" - 0.01031 555Г4 + + 0.02282 967Г" - 0.02895 312(1 + 0.01787 654Г' -
- 0.00420 059Г8 + е, ! е| < 2.2- 10"'.
9.8.5. 0 < X < 2,
Ка(х) = - h (xl2) IJx) - 0.57721 566 +
+ 0.42278 4200/2)® + 0.23069 7560/2)' + + 0.03488 590072)11 Ь 0.00262 69SO/2)9 +
+ 0.00010 750О/2)1» + 0.00000 740О/2)13 + е, 1 El < 1 • ІО"».
9.8.6. 2 < х < оа,
X11VKt(X) = 1.25331 414 - 0.07832 358(2/*) + + 0.02189 5 6S(2/x)a—0.01062 446(2/^)3+0.00587 872(2Ixf --0.00251 540(2/*)5 + 0.00053 208(2?)" + г, I EI < 1.9 ¦ 10~7.
9.8.7. 0 < х < 2,
.-CJC1W = xla (Xft)I1(X) + 1 + 0.15443 144(х/2)' -
- 0.67278 5790/2)4 - 0.18156 8970/2)* —
- 0.01919 402(х/2)8 - 0.00110 404(х/2)и -
- 0.00004 6860/2)" + Е, i е[ < 8 - 10^'.
9.8.8. 2 =S * < оо,
X1VAT1O) = 1.25331 414 + 0.23498 619(2/х) -
- 0.03655 620(2/л')Е + 0.01504 268(2Ixf -
- 0.00780 353(2/*)1 + 0.00325 614(2/*)5 -
- 0.00068 245(2/х)' + е,
I EI < 2.2- 10"'.
Разложения функций IJx), KJx), IJx) и KJx) по многочленам Чебышева для областей 0 х < 8 и 0 < 8/х 1 см. в [9.37].
