Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
Кv(z) стремится к нулю, когда | Z \ оо в секторе |atg zj < 7:,12. 7v(z) и Kyt(Z) линейно независимы для всех значений v. Iy(z) и Kv(z) действительны и положительны, когда V > —1 и z > 0.
13 ?. ФУНКЦИИ БЕССЁЛЯ ЦЕЛОГО ПОРЯДКА
2А 2.0 1.6 1.2. О. S О Л
" 1 2 3 х
Ряс. 9.7. h(x), AToW, Wx) и K1(X).
IS U 1.0 0.1 о.г
/е-%
1 г з ь s
7 s s а х
Ряс. 9.8. C-1Iv(X), e-'h(x), с'К„(х) a CxK1(X).
W
К, (5)
в -<> -г а г 4 в е т v
Pkc. 9.9. 1.,(5) и A'v(5).
9.6.2. JSTv(Z) = ти/2
Соотношения между решениями
7_„(z) - Iv(z)
Sin (vtt)
Правая часть этого уравнения заменяется ее предельным значением, если v — целое или нуль.
9.6.3.
/v(z) = e-"v"Vv(ze""») (-Tt < arg z « тг/2), /v(z) = e^'V^ze-»*»2) (тг/2 < arg z < ті).
9.6.4.
Kv(Z) = - r.ie**"*HV>(zen<":) (- ті < arg z s; Tt/2), 2
Xv(z) = - і Ttie-mlZWWze-'"") (- ті/2 < arg z « n). 2
9.6.5. IVze11i'') = C(M1)iiwVv(Z) - (2/Tt) e-™""/rv(z)
(-Tt < arg z S tt/2).
9.6.6. I-n(z) = 7„(z), AT_„(z) = iTv(z).
С помощью этих соотношений большинство свойств модифицированных функций Бесселя может быть получено непосредственно 1Г, свойств обыкновенных функций Бесселя.
Пределы при малых значениях аргумента
(v фиксировано и z 0)
9.6.7. /„(z)-~ (z/2)v/F(v +;i) (v ф -1, -2, ...).
9.6.8. Ka(Z) ~ -In z.
9.6.9. «z) ~ - T(v) (z/2)-» (Re V > 0). 2
Разложения в степенной ряд
9.6.10. I„(z)=(zl2yp ---
fcit!r(v+* + l)
9.6.11. ff„(z) = - (z/2)-Vі-(" ~ k ~ ')! (~z'/4)»+
?. Ar!
A- 0
+ (- l)»+1 In (z/2) /,(Z) +
(-1)" ( z
{ф(? + 1) + ф(л + <г + I)}
(z'l 4)"
it !(и + ft)]'
где ф(й) определена формулой 6.3.2.
9.6.13. «z)=-{ln (z/2)+у} /„(z)+ +
I 2j (H)iZl 2 l] (3!) МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
197
Вронскианы
9.6.14. ЩШ, /_v(z)} _ /v(z) Llvtll(Z) - /vtl(z) IUz) -
= — 2 sin (v7l)/(jtz).
9.6.15. HrMz), /v(z)} =
= «z) KvtlM + Wz) ВД -= 1/Z. Интегральные представлення
9.6.16. 7,(z) = - ^ Ci' """de = - h ch (z cos Є) M.
0 o
9.6.17. -Mz) = - - ^ e±"0! ® <Y + In (2z sin* 0)} dO.
9.6.18. 7,(z) ----Ceiiras9Sin^e
iu«»r(v + 1/2)
(z/2)'
/2) 5
(1 _ ty-V'e±"dt (Rev> -1/2).
л«'Г(» + 1/2)
—і
9.6.19. Uz) =¦ і J s'«"0 cos (n0) d9.
0
9.6.20. Uz) = - ^ e"cosecos(v0)<ie -
0
Je-.=b«-«A (1 arg z I < Tt/2). 0
9.6.21. Ap0(X) = C cos (x Sh /) Л = [ —dt
J J V'B + 1
о о
(x > 0).
9.6.22. STvW - sec vsj J cos (x sh 1) ch (vj) Л =
cosec VTtj ^ sin (x sh t) sh (vr) dt
(I Re v| < 1, X > 0).
9.6.23. ATv(z) = -T'"(Z/2)V C e-«k! sh«« < Л = Г(ї + 1/2) )
T(v + 1/2) .1 1
(Rev> -1/2, Iargzl < ж/2).
9.6.24. ATv(z) » ^e""1" ch(vr)A (| arg z | < it/2).
о
9.6.25. ^v(xz) - ICMJfflCIzr F cosM*_
it"V J (<3 + z'y^i' 0
(Re v S -1/2, x> 0, I arg z| < n/2). Рекуррентные соотношения
9.6.26.
S^1(Z)-Swl(Z) = -Sv(Z),
z
ад - Sm(Z) - - s,(z),
Z
V-lU) + W*) = 24(2), - + - Ыг).
Z
Sv означает Л,, ^vnl Xv или любую линейную комбинацию этих функций, коэффициенты которой не зависят от г и v.
9.6.27. ф) - Z1(Z), ОД = - ATi(z).
Пронзаодиые
9.6.28. ^ ^jiVsv(Z)) = z^V-^z),
= № = 2- -'-
9.6.29. S«>(z) = і + ^ j Sv_j„(z) +
+ ^ j Sv_m(z) + ... + Sv+i(z)}
(4 - 0,1, 2,...)
Аналитическое продолжение (m — целое, v — действительное)
9.6.3S. Mze""') = е-™' Mz).
9.6.31. И»^.^«!)-
— тії sin (mv те) cosec (vti) /-/z).
9.6.32. /v(z) = «і), KJX) - «z).
Производящая функция и связанные с пей ряды
9.6.33. е* = J^ t'Uz) (I # 0).
к--со
9.6.34. = /0(z) +2^ Ш cos №0). 198
9. ФУНКЦИИ ЕЕССЕЛЯ ЦЕЛОГО ПОРЯДКА
9.6.35. е"ш° - ш + 2 ? (-1)'? !<-') X
A=O
X sin «2к + 1) 6} + 2 ? (-1)' Zil(Z) cos (2к0).
9.6.36. 1 =. Z0(Z) - 2Ш + 2/i(z) - IIt(Z) + ...
9.6.37. е' = Zo(z) + 2Zi(z) + 2Zs(z) + 2Uz) + ...
9.6.38. е-' = Z0(z) - 2Zi(z) + 2Za(z) - 2/4(z) + ...
9.6.39. Ch Z = 7o(z) + 27,(z) + 2Z,(z) + 2Z,(z) + ...
9.6.40. Sh z = 2/^z) + 27,(z) + 2/5(z) + ...
Другие дифференциальные уравнения
Уравнения для модифицированных функций Бесселя получаются заменой в уравнениях 9.1.49 — 9.1.54 и 9.1.56 величины і'' Ha — > . При этом в решениях символ S заменяется на %.
9.6.41. z'w* + z(l A 2z) w- + (± z - V2)if =• О,
W eT'»„(z).
Дифференциальные уравнения для произведений могут быть получены из 9.1.57 — 9.1.59 заменой z на iz.
Производные относительно порядка
9.6.42. — Iv(z) -Sv
И" + к+ 1)
1) /с!
9.6.43. -Arv(Z) =
= — Tt cosec (VTt) J-' I~v(z)--- 7v(z)l
(av Sv j
- Tt ctg (Vit) Kv(Z) (v # 0, ±1, ±2, ...). 9.6.44. (-1)» J-Zv(Z)] =
n\(zl 2)- ^ t (ZllfI1(Z)
- - ад) +
(n-k)k\
9.6.45. f і a-v(2)1 - ЧШ1 "fi .
9.6.46. ^'.(Z)J e=-«z), o=0.
Выражения через глпергеэметрическис функции
».«.47. Zv(Z) = Jzl2r „Fi(v + 1; za/4) =
T(v+ 1)
= W^Affv+-, 2v+l, 2z|
r(v + 1) [ 2
. JC"l^'^L.
- 2S»"'T((V+1) '
9.6.48. Kv(z)
(IF
m,v(2z).
0Г, -• обобтцеїгаая гипсргеомсірігкч ісяя функция; о функциях M (w, Ь, z), Mn,v (Z) и см. в гл, 13,
