Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
Бели V > 0, все нули — действительные числа.
Комплексные нули функции Fv(z)
Когда V — действительное, обшая картина расположения комплексных нулей функций Ys,{z) И Yy(Z) ЗсШНСИТ от величины { V}. Ограничимся здесь случаем, когда V = и — целое положительное или нуль.
Нпв*&)
ClKI
-^rp5-
1Т/П '-^llno /
' -i (па+if)
Рис. 9.5. Нули 37n(z) и %(z); Iarg г] <
Рис. 9.5 показывает ириб низи тельное расположение комплексных нулей функций Y„(z) ? области | arg rK Фигура, изображенная на рисунке, симметрична относительно ACiici нительной оси. Две бесконечные кривые имеют асимптоты
Im z =
d- — In 3 «
2
Г 0.54931 ...
Вблизи каждой из этих кривых имеется бесконечное число нулей.
Две кривые, расположенные между точками- = —" и г -•-•= я, пересекают мнимую ось в точках ± і [па + Ь), где
a = V^TirT =¦ 0.66274 ..., Ъ - -JT^q* In 2 = 0.19146 ...
н f0=l.19968 ... — положительный корень уравнения etil t — = f. Вблизи каждой из этих кривых имеется п нулей. Асимптотические разложения этих нулей для больших п даются правой часті-ю разложения 9.5.22 при v — л и C = = К-2/3 ?s или С п ?j, где ?*и ?« — комплексные нули функции Bi(z) (см. 10.4).
Рис. 9.5 демонстрирует также расположение нулей функции Yn(z). Как и в предыдущем случае, имеется бесконечное число нулей вблизи бесконечных кривых. Около каждой из конечных кривых имеется и нулей, асимптотические разложения которых для больших п даются правой частью формулы 9.5.24 при v = п и C = n~a/3?« или С == "~8/3?s, где ?i и — комплексные нули функции Bi'(z).
Численные значения трех наименьших комплексных нулей функций Y(,(-), Y1(Z) и Y\(z) в области 0 < aig z < тс даны ниже. Более подробно об этих нулях см. в [9,36] и [9.13]. (ft [9.13] имяогся таблицы, которые облегчают их вычисления.)
Комплексные нули функций Ханкели
Приблизительное расположение нулей функцииH^(z) и ее производной в области j arg z , =S т показано на рис. 9.6. Асимптота бесконечной кривой задается ураинением
CUT -п В -Г/5 ^
і kl У гіщ
Рис. 9,6. Нули Hlu(Z) и Iiiiv(Z)-, largr] тс.
Вблизи конечной кривой, расположенной между точками z : —п и z — п, имеется и нулей каждой функции. Асимптотические разложения этих пулей для больших п задаются правой частью формулы 9.5.22. (при С = = -tIri'3^) или формулы 9.5.24 (при С- e~Mi(3ir's!Ja's). В обоих случаях v = п.
Нули функции F0(Z) и значения функции F1(Z) в утих нулях (см. [9.36])
Нуль Y1
Действительная часть Мнимая чисть Действительная „сть Мнимая часть
-2.40301 6632 —5.51987 6702 -8.65367 2403 + 0.53988 2313 + 0.5471S ООП + 0.54841 2067 + 0.10074 7689 -U 0 2924 6418 + 0.01490 S063 -0.88196 7710 +0.58716 9503 -0.46945 8752 МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ БЕССВЛЯ 195
Нули функции K1(Z) и значения функции Yu(z) в этих нулях
Нуль г.
Дейстцителытая часть Мнимая часть Действительная часть Мнимая часть
-0.50274 3273 -3.83353 5193 — 7.0І590 3683 + 0.78624 3714 + 0.56235 6538 + 0.55339 3046 - -0.45952 7684 + 0.04830 1909 — 0.02012 6949 + 1.31710 1937 -0.69251 2384 + 0.51864 2833
Нули функции Y11(Z) и значения функции T1(Z) в этих нулях
Нуль Y1
Действительная часть Мнимая часть Действительная часть Мнимая часть
+ 0.57678 5129 --1.94047 7342 -5.33347 8617 + 0.90398 4792 + 0.72118 5919 + 0.56721 9637 -0.76347 7088 + 0.16206 4006 -0.03179 4008 + 0.58924 4865 -0.95202 7886 + 0.59685 3673
Нули произведений функций Если V —- действительное, а. >¦ — положительное, то нули функции
9.5.27. J4(Z) Vv(Xz) - Jv(Xz) Tv(Z) являются действительными и простьлш. Если X > 1, асимптотическое разложение j-го нуля имеет вид
P Q-P2
Где ц = 4v2 и
9.5.29. ? =» in /(X - 1),
г - 4м + 2р3 ?s
8Х
(ц - 1) (ц - 25) (?' - Q 6<4Х)> (X-I)
5(4Х)> (X - 1)
Асимі і го і н іескос разложение больших положительных нулей (не обязательно л-і о пули) функции
9.5.30. .ОД Y^z) - J^(Iz) Y14(Z) (л > ])
задается разложением 9.5.28 с тем же значением ? и при
9.5.31., = ^ + 2, <,= С+46|t-65) (Х'-1)_ SX 6(4Х)3 (X-I)
= (ц3 + 185ц2 - 2053ц + 1899) (Xа - 1) 5(4Х)5 (X-I)
Асимптотическое разложение больших положительных нулей функции
9.5.32. JJz) YJ\z) - YJz) JJXz) задается формулой 9.5.28, где
9.5.33. ? - |s - -~J н/(Х - 1),
(ц + 3) X - (ц - 1)
8Х(Х - I)
_ (ц3 + 46ц - 63)Х3 - (ц - 1)(ц - 25) _ ' 6(4Х)3(Х-1)
5(4Х)Б (X _ I) г = (ца + 185ц3 - 2053ц H- 1899) X* -
- (ц - 1) (ц! - 114ц + 1073).
МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 1 И А
9.6. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И СВОЙСТВА
Дифференциальное уравнение
9.6.1. г2 —+ Z--(Zi + V2) >v = 0. dz2 dz
Решениями этого уравнения являются функции Т±,/z) и Ky(z), каждая из них — регулярная функция z на всей z-плоскости, разрезанной вдоль отрицательной действительной оси. Для фиксированного z (z Ф 0) эти функции
являются целыми функциями v, Для v = ± Я Iyi(Z) — целая
функция Z.
I-JyZ) (Re V 0) ограничена при z -* 0, если область изменения arg z ограничена. It(z) и I-\(z) линейно независимы, если v не является целым числом.
