Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
і 0.0278 -0.004 0.1785 0.009
2 0.0351 -0.001 0.1862 0.007
3 0.0366 + 0.002 0.1927 0.005
4 0.0352 0.003 0.2031 0.004
5 0.0331 0.004 0.2155 0.003
б 0.0311 0.004 0.2284 0.003
7 0.0294 0.004 0.2413 0.003
8 0.0278 0.004 0.2539 0.003
' 9 0.0265 0.004 0.2662 о.ооз
10 0.0253 0.004 0.2781 о.ооз
-С МО «,(О «.К) 4«)
0 0.0180 -0.004 0.1587 0.007
1 0.0109 -0.003 0.1323 0.004
2 0.0067 -0.002 0.1087 0.002
3 0.0044 -0.001 0.0903 0.001
4 0.0031 -0.001 0.0764 0.001
5 0.0022 -0.000 0.0658 0.000
6 0.0017 —о.ооо 0.0576 0.000
7 0.0013 -0.000 0.0511 0.000
8 0.0011 -0.000 0.0459 0.000
9 0.0009 -0.000 0.0415 0.000
10 0.0007 -0.000 0.0379 0.000
При ? > 10 берутся
i.(o~ - С"1'2 - 0.104С"а, oi(0 - 0.003,
12
ft(О ~ Y2 0'а + 0.146С"1, <4(0 - 0.003.
При Cc — 10 берутся
WO--Ca1 12
(1,(0 = 0.000,
со(0 ~ - - Г1 - 1.33(- О-"3, «о = 0.000. 12
Коэффициенты более высокого порядка имеют следующие максимальные значения:
I WO1 = 0.003, I oa(01 - 0.0008, [ i/,(01 - 0.001,
при X, < 10 і сі(ї) I = 0.008,
при Z -у + со й(0 -- 0.003 С1'2. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 191
9.4. АППРОКСИМАЦИЯ МНОГОЧЛЕНАМИ *)
9.4.1. -3 < х « 3,
Л(х) - 1 - 2.24999 97(х/3)а + 1.26562 08(х/3)* -- 0.31638 66(x/3)e + 0.04444 79(х/3)" -
- 0.00394 44(х/3)10 + 0.00021 00(x/3)u + с, |е[<5'Ю-'.
9.4.2. 0 < X *s 3,
YJx) = (2/тг) 1п(х/2) Л(х) + 0.36746 691 +
+ 0.60559 366(х/3)а - 0.74350 384(x/3)J + + 0.25300 117(х/3)в - 0.04261 214(х/3)" +
+ 0.00427 916(х/3)10 - 0.00024 846(х/3)1' + с, І є I С 1.4 ¦ 10-".
9.4.3. 3 « х < оо,
Mx) = X-1'* ft cos O0, YJx) - X-1" /в sin 00, /. = 0.79788 456 - 0.00000 077(3/х) -
-0.00552 740(3/х)3 — 0.00009 512(3/х)3 + + 0.0013 7 237(3/х)" - 0.00072 805(3/x)s +
+ 0.00014 476(3/х)в + с, і s! < 1.6- 10-", в„ - X - 0.78539 816 - 0.04166 397(3/х) -
- 0.00003 954(3/х)а + 0.00262 573(3/х)" -
- 0.00054 125(3/х)' - 0.00029 333(3/х)Б +
+ 0.00013 558(3Ix)' + є, I с| < 7- ЮЛ
9.4.4. -3 S х « 3,
X-V1(X) - 1/2 - 0.56249 985(х/3)а +
+ 0.21093 573(х/3)4 - 0.03954 289(х/3)" + + 0.00443 319(х/3)" - 0.00031 761(х/3)>» +
+ 0.00001 I09(x/3)u + с, I с| < 1.3- 10-».
9.4.5. 0 < X s; 3,
X Г,(х) = (2/тг) X ln(x/2) J1(X) - 0.63661 98 +
+ 0.22120 91(х/3)а + 2.16827 09(х/3)' -
- 1.31648 27(х/3)" + 0.31239 51(х/3)8 -
- 0.04009 76(х/3)1а + 0.00278 73(x/3)ls + с, I с I < 1.1 • 10-'.
9.4.6. 3 S X < оо,
J1(X) - Х-1'» /i cos O1, Y1(X) = X-1'" /і sin O1, /і - 0.79788 456 + 0.00000 156(3/х) +
+ 0.01659 667(3/x)a + 0.00017 105(3/х)8 -
- 0.00249 511(3/*)» + 0.00113 б53(3/х)» -
- 0.00020 033(3Ixf + є, |е| <4-10-»,
ві = X - 2.35619449 + 0.12499 612(3/х) +
+ 0.00005 650(3/х)а - 0.00637 879(3/х)3 + + 0.00074 348(3/х)« + 0.00079 824 (3Ixf -
- 0.00029 166(3/*)' + е,
І с! < 9 ¦ 10-".
Разложения функций /п(х), Y „(х), J1(X) и Y1(X) по многочленам Чебышева в областях 0 аї х «ї 8 и0^8/х^1 см. в [9.37].
9.5. НУЛИ
Действительные нули
Когда V — действительное, каждая из функций JJz), JJz), Yv(z) и YJz) имеет бесконечное множество действительных нулей.
Все нули простые, за исключением, быть может, точки Z — 0. Для неотрицательных v v-e положительные пули этих функций обозначаются Vv..- и y',liS соответ-
ственно; исключение составляет функция JJz), для которой Z=O считается первым нулем. Так как JJz) — -JiHz), то
9.5.1. /„ ,-0, /,,= к. ,-л. Cj- 2, 3,...).
Нута перемежаются согласно неравенствам
9.5.2. Ai <Л+1.1 <Л,а <Лм.« <Л.з < •¦¦.
JVl < Л+1.1 < JVa < JV«.a < JVa < ¦•¦¦
V « Лд < JVi < Ki </».1 <Лл <
< JV2 < <Лл <Л» < -
Положительные нули двух линейно независимых действительных цилиндрических функций одного порядка перемежаются. Положительные нули любой действительной цилиндрической функции S.j(z) (см. 9.1.27) и смежной функции 2vtl(z) также перемежаются.
*) Приближения 9.4.1 — 9.4.6 и 9.8.1 — 9.8.8, взятые из [[9.1] и [9.2], были проконтролированы в Национальной
физической лаборатории. В результате этой проверки были получены новые оценки точности с, которые даны здесь. 192
9. ФУНКЦИИ ЕЕССЕЛЯ ЦЕЛОГО ПОРЯДКА
Если Pv — нуль цилиндрической функции
9.5.3. Sv(z) = JJiz) cos (nt) + I7v(Z) sin (nt), где t — параметр, то
9.5.4. Є'М = Vi(Pv) = ~<WPv>-
Если crv — нуль Sv (г), то
9.5.5. Є/*,) = ^ S^1(Cv) = Sl Svw(Cv).
V V
Параметр t может рассматриваться как непрерывная переменная, a pv и а,, как функции pv(f)> CTv(0 от t. Если эти функции фиксируются условиями
9.5.6. pv(0) = О, <JV(0) = ft,то имеют место соотношения
9.5.7. U1 - p4(s), - Pv^ - (s= I, 2,,..),
9.5.8. /V(S = av(s - 1), уи - <7v|s - -Ij (s = 1, 2,...),
9.,9.^) = (^}
I 2<j, dt j
9.5.10. J,(z)
Бесконечные произведения
(zl 2)»
9.5.11. J'Jz) ¦
r(v + 1)
(ФГ 2T(v)
п ('-?)-
rn('-f)
(v > 0).
Разложения Макмагона для больших нулей (v фиксировано, s > v, — 4--)
9.5.12. А., Уч,г -P-
Ц - 1 4(ц- 1)(7ц- 31)
3(8?)3
_ 32(ц - 1) (83ц.' - 982ц + 3779) _ 15(8р)5
_ 64(ц-1)(6949ц3-1 53855ц8+ 1585743Ц-62 77237) _ 105(8Р)'
