Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
9. ФУНКЦИИ ЕЕССЕЛЯ ЦЕЛОГО ПОРЯДКА
Асимптотические разложения Ханкеля (v фиксировано и | z | ->¦ со)
9.2.5. Л(г) = 4Ш?) {P(v, г) cos х -
- ?(v, z) sin х} (] arg z I < тг).
9.2.6. YJz)= V2/(tiz) {i>(v, z) sin x +
+ CO. г) cos x} (і arg z I < ті).
9.2.7. H»>(z) = лІЩИЇ) {f(v, г) + tQ(v, z)} e"
(—и < arg z < 2ти).
9.2.8. ЯП*) = {«v, z) - i?t», z)} e'a
(—2tt < arg z < tu).
Здесь x = z— ^ V + -J-j те. Если обозначить 4va через
9.2.9. i>(v, z) ~ 2^(-1)"
(v, 2t) _ (2z)ai "
((1-1)((1-9) (ц-1)(ц-9)((1-25) ([i -49)
21 (Sz)2 4 !(8z)4
9.2.10. ЄК z)-?(-!)* +'>
= _ (ti-1) (M -9)0*-25)
8 2
+ ...
3! (8 zf
Пусть V — действительное неотрицательное, z — положительное и в разложении Р(у, z) взято к членов. Тогда при к > v/2 — 1/4 остаточный член этого разложения не превосходит по абсолютной величине (к + 1)-го члена и имеет тот же знак. При к > v/2 — 3/4 то же самое справедливо для Q(\, г).
Асимптотические разложения производных
В этом разделе приняты те же условия и обозначения, что и в предыдущем.
9.2.11. X(Z)-VS(TtF) { -RtlV, z) sin X — S(v, z) cos х)
(I arg zI < ті).
9.2.12. Y-(Z) = V2/(Ttz) (A(v, z) cos x - S(v, z) sin x)
(I arg z| < ті),
9.2.13. Я<'''(г) = V^TC^z) {z) - S(y, z)}e'*
(—Tt < arg z < 2rc),
9.2.14. Hfy(Z) = a/2/oS) ( -«(», z) - S(v, z)} є""«
(— 2Tt < arg z < Tt).
9.2.15. *(v,z)~f"(- 1)' 4v8+№-' ^4I =
Ы ** - (« - О" (2z)2 *
2 !(Sz)'
9.2.16. S(v, z) ~
. у 4V2 + 4(2/< + l)2 - 1 (v, 2k + 1)
4Vа - (4k + l)2 (2z)«+1
_((i + 3) (ц- 1)((1-9)((1 + 35) Sz 3 !(Sz)'1
Модуль и фаза
(v фиксировано, X > 0)
9.2.17. Mv - І HS4(X) I = ^Ji(X) + УЗМГ Є, - arg flf'Cx) = arctg(YJx)IUx)).
9.2.18. Wv = І Я?"'(х)| = V /v(x) + П'(х), Tv = arg HJ11Xx) = arctg(YJx)IUx)).
9.2.19. /v(x) - Mv cos 0,, Г„(х) = M4 sin 9V.
9.2.20. JJx) = JVv cos ф„, YJx) = JV, sin <pv.
В следующих соотношениях штрихи означают дифференцирование по х.
9.2.21. М5в; = 2/(ттх), Я$<р', = 2(х" - V1V(Ttxs).
9.2.22. JVJ = М" + MS0;' - Mi' + 4/(ихМ„)!.
9.2.23. (Xа - Vs) MvJI/; + X1WvJV; + xJVJ - 0.
9.2.24. tg (<р, - 0V) = -Д/А/м; = 2/(таМ„ВД, MvArv sin (<р„ - 6V) - 2/(Ttx).
9.2.25. х-м; + хм; + (Xs - Vа) My - 4/(тіа.М5) - 0.
9.2.26. XaW'" + х(4ха + 1 - 4va) ж" + (4V2 - 1) w = 0,
и> — ХМ?. -1/4
9.2.27. в;+IJSl
2 о;
2 (.Sl2
' 4 h J
: 1 -
Асимптотические разложения модуля и фазы
(v фиксировано, х — большое положительное число, [1 = 4va)
1 11-1 , 1-301-1)(!!-?
(2х)а+2-4 (2хУ +
+
1-3-5 (|1- 1)(ц-9)((. - 25) 1
2-4'6 (2х)е '"J
9.2.29. Ov-x-f-v + iU+-!^- + I 2 4 J 2(4х)
(!1-1)((1-25), (|1 - l)((ia- 114(1 + 1073)
6(4х)3 5(4х)5
((і - 1)(5(12 - 1535ц2 -г 54703(1 - 375733) 14(4х)7
+ + ... ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
187
- — (l - -lue 1 2
ц-3 _ 1 vl_ (jl - !)([/. -45) 2 (2*)' 2-4 (2x)*
Общий член этого разложения имеет вид _ 1-1 ¦ 3 ... (2? - 3) 2-4-6...(24
х (ц- 1) (к- 9) ... {ц- (2*- 3)'} (ц-(2к+ 1)(2?-!)') (2*)"
9.2.31. Ф„~х-
I 2 4) 2(4*)
Ha + 46 ц - 63
6(4.т)"
| |i' + 185fia - 2053,u + 1899 5(4*)5
Если V S= 0 и в разложении 9.2.28 взято к членов, то при к > V — 1/2 остаточный член не превосходит по абсолютной величине (к + ))-го члена и имеет тот же знак.
9.3. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЗНАЧЕНИЯХ ПОРЯДКА
Главные члены асимптотических формул (у 'У-, принимая действительные положительные значения, остальные переменные фиксированы)
9.3.1. ЛМ'
V2icv \ 2v )
№
-
чи.«-«!
9.3.2. /,(V scch «)~ —== (и > 0),
YJy sech а) л.
V2tiv th а
v(«-th а)
(а>0).
V(irvtha)/2
9.3.3. /,(V sec ?) - V2/(nvtg?) X
X {cos (v tg ? - v? - я/4) + O(V1)J (0 < ? < n/2), 7v(v sec ?) =¦ V2/(nvtg?) X
X {sin (v tg ? - v? - тс/4) + Ofv"1)} (0 < ? < л/2).
9.3.4. /v(v + zv1'») = 21'3v-1'aAi(-21'3z) + O(V1)1 r,(v + ZV1'3) = - 21'3v-1'»Bi(-21'3z) + Otv"1).
9.3.5. JJv) -
21/3
ВД- -
3a'T(2/3) v1'3 2i» 1
9.3.6.).^)=(-^-)1
1 + v1'«|S|1/*
31/еГ(2/3) v1'3
4? y'4 Ai(va'3Q
1 v«3;
(I argz|< Tt),
*) К определяется ниже формулами 9.3.38 и 9.3.39.
ехр Re
Ml
1 + V1'»!?!1"
О U-I
I v"s I
(I arg z |< я).
Асимптотические разложения Дебая
0) Если а — фиксированное положительное число, і V- большое положительное, то
9.3.7. /,(V sech и) -
9,3.». YJv sech «)
в"1""""' J! + fv »tCcth а) І
V2T=v.th « \ V» J'
V(7t»th«)/2 [fei V* |
где й4(() имеют вид 9.3.9.
UoW = 1,
«i(Z) = (З» - 5(")/24,
Uss(Z) - (8l!a - 462(* + 385z")/1152,
U3(I) = (30375г3 - 3 69603(" + 7 65765t' -
- 4 25425z»)/4 14720, U1(I) = (44 65125(4 - 941 21676(1 + 3499 22430(" -
- 4461 85740/10 + 1859 10725(ia)/398 13120, значения U5(Z) и //,(() см. в [9.4] или [9.21], 1
9.3.10. U141M = -| Ja(I-Zs) <4(0 +
.^(1-5,8)
U1(I) dt (к = 0, 1,...). 188
9. ФУНКЦИИ ЕЕССЕЛЯ ЦЕЛОГО ПОРЯДКА
Аналогично 9.3.11. sech а) ,
1/Sh 2к ,(,1, ( Vn »t(cth ») 1 ,
Mkv Г И V« j
ysh2» e4a_th«) + ^ 1)? °*<ah ») j.
